Calcolo di una funzione di autocorrelazione
Buongiorno,
mi trovo di fronte al calcolo della funzione di autocorrelazione del seguente segnale:
\(\displaystyle s_0(t) = A_0\cos(2\pi f_0 t+\phi(t)) \)
che mi viene detto essere:
\(\displaystyle R_0(t) = \frac{A_0^2}{2}\Re \{e^{j2\pi f_0 t} \cdot M_\tau \{e^{j[\phi(\tau+t)-\phi(\tau)]}\} \}\)
dove \(\displaystyle j \) è l'unità immaginaria e \(\displaystyle M_\tau\{...\} \) è l'operatore di media rispetto a \(\displaystyle \tau \).
Ho provato io a fare il conto, e mi viene invece:
\(\displaystyle R_0(t) = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} s_0(\tau) s_0(t+\tau) d\tau = \)
\(\displaystyle =\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} A_0^2\cos(2\pi f_0 \tau+\phi(\tau))\cos(2\pi f_0 (t+\tau)+\phi(t+\tau)) d\tau = \)
\(\displaystyle =\frac{A_0^2}{2}\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} \cos(2\pi f_0 (t+2\tau)+\phi(t+\tau)+\phi(\tau))+\cos(2\pi f_0 t+\phi(t+\tau)-\phi(\tau)) d\tau = \)
\(\displaystyle =\frac{A_0^2}{2}\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} \Re\{ e^{j[2\pi f_0 (t+2\tau)+\phi(t+\tau)+\phi(\tau)]}+e^{j[2\pi f_0 t+\phi(t+\tau)-\phi(\tau)]}\} d\tau = \)
\(\displaystyle =\frac{A_0^2}{2}\Re\left\{ e^{j 2\pi f_0 t} \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{j[4\pi f_0\tau+\phi(t+\tau)+\phi(\tau)]}+e^{j[\phi(t+\tau)-\phi(\tau)]} d\tau \right\}= \)
\(\displaystyle =\frac{A_0^2}{2}\Re\left\{ e^{j 2\pi f_0 t} \left[ \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{j[4\pi f_0\tau+\phi(t+\tau)+\phi(\tau)]}d\tau+\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{j[\phi(t+\tau)-\phi(\tau)]} d\tau \right]\right\}= \)
\(\displaystyle =\frac{A_0^2}{2}\Re\left\{ e^{j 2\pi f_0 t} \left[ M_\tau\left\{ e^{j[4\pi f_0\tau+\phi(t+\tau)+\phi(\tau)]}\right\} +M_\tau\left\{ e^{j[\phi(t+\tau)-\phi(\tau)]}\right\} \right]\right\} \)
C'è qualche motivo che non vedo per cui il termine \(\displaystyle M_\tau\left\{ e^{j[4\pi f_0\tau+\phi(t+\tau)+\phi(\tau)]}\right\} \) debba annullarsi?
mi trovo di fronte al calcolo della funzione di autocorrelazione del seguente segnale:
\(\displaystyle s_0(t) = A_0\cos(2\pi f_0 t+\phi(t)) \)
che mi viene detto essere:
\(\displaystyle R_0(t) = \frac{A_0^2}{2}\Re \{e^{j2\pi f_0 t} \cdot M_\tau \{e^{j[\phi(\tau+t)-\phi(\tau)]}\} \}\)
dove \(\displaystyle j \) è l'unità immaginaria e \(\displaystyle M_\tau\{...\} \) è l'operatore di media rispetto a \(\displaystyle \tau \).
Ho provato io a fare il conto, e mi viene invece:
\(\displaystyle R_0(t) = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} s_0(\tau) s_0(t+\tau) d\tau = \)
\(\displaystyle =\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} A_0^2\cos(2\pi f_0 \tau+\phi(\tau))\cos(2\pi f_0 (t+\tau)+\phi(t+\tau)) d\tau = \)
\(\displaystyle =\frac{A_0^2}{2}\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} \cos(2\pi f_0 (t+2\tau)+\phi(t+\tau)+\phi(\tau))+\cos(2\pi f_0 t+\phi(t+\tau)-\phi(\tau)) d\tau = \)
\(\displaystyle =\frac{A_0^2}{2}\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} \Re\{ e^{j[2\pi f_0 (t+2\tau)+\phi(t+\tau)+\phi(\tau)]}+e^{j[2\pi f_0 t+\phi(t+\tau)-\phi(\tau)]}\} d\tau = \)
\(\displaystyle =\frac{A_0^2}{2}\Re\left\{ e^{j 2\pi f_0 t} \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{j[4\pi f_0\tau+\phi(t+\tau)+\phi(\tau)]}+e^{j[\phi(t+\tau)-\phi(\tau)]} d\tau \right\}= \)
\(\displaystyle =\frac{A_0^2}{2}\Re\left\{ e^{j 2\pi f_0 t} \left[ \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{j[4\pi f_0\tau+\phi(t+\tau)+\phi(\tau)]}d\tau+\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{j[\phi(t+\tau)-\phi(\tau)]} d\tau \right]\right\}= \)
\(\displaystyle =\frac{A_0^2}{2}\Re\left\{ e^{j 2\pi f_0 t} \left[ M_\tau\left\{ e^{j[4\pi f_0\tau+\phi(t+\tau)+\phi(\tau)]}\right\} +M_\tau\left\{ e^{j[\phi(t+\tau)-\phi(\tau)]}\right\} \right]\right\} \)
C'è qualche motivo che non vedo per cui il termine \(\displaystyle M_\tau\left\{ e^{j[4\pi f_0\tau+\phi(t+\tau)+\phi(\tau)]}\right\} \) debba annullarsi?
Risposte
Ciao Silent,
Onestamente devo dire che tale calcolo l'ho visto qualche decennio fa, ma sempre con $\phi $ costante, non dipendente dal tempo. In tal caso risultava semplicemente $R_0 (t) = A_0^2/2 cos(2\pi f_0 t) $
Non è che c'è qualche ipotesi su $\phi $ che non hai menzionato che ti consentirebbe di annullare la parte $\phi(t + \tau ) + \phi(\tau) $? Perché in tal caso poi ovviamente $\AA f_0 $ si avrebbe
$ \lim_{T \to +\infty} 1/T \int_{- T/2}^{T/2} cos(4\pi f_0 \tau) \text{d}\tau = 0 $
e quindi il risultato che hai citato:
Onestamente devo dire che tale calcolo l'ho visto qualche decennio fa, ma sempre con $\phi $ costante, non dipendente dal tempo. In tal caso risultava semplicemente $R_0 (t) = A_0^2/2 cos(2\pi f_0 t) $
Non è che c'è qualche ipotesi su $\phi $ che non hai menzionato che ti consentirebbe di annullare la parte $\phi(t + \tau ) + \phi(\tau) $? Perché in tal caso poi ovviamente $\AA f_0 $ si avrebbe
$ \lim_{T \to +\infty} 1/T \int_{- T/2}^{T/2} cos(4\pi f_0 \tau) \text{d}\tau = 0 $
e quindi il risultato che hai citato:
"Silent":
che mi viene detto essere:
[tex]R_0(t) = \frac{A_0^2}{2}\Re \{e^{j2\pi f_0 t} \cdot M_\tau \{e^{j[\phi(\tau+t)-\phi(\tau)]}\} \}[/tex]
Ciao pilloeffe e grazie,
mi viene detto soltanto che \(\displaystyle \phi \) è un processo aleatorio stazionario e gaussiano e poi che per ipotesi \(\displaystyle s_0(t) \) è comunque un segnale a banda stretta.
Non ho trovato queste ipotesi utili, ma effettivamente potrei essere io a non vedere dove vanno usate.
Il motivo per cui le ho sempre considerate ininfluenti è perché, un attimo dopo aver presentato la formula del primo messaggio, mi viene detto che usando le ipotesi dette si trova che:
\(\displaystyle R_0(t)=\frac{A_0^2}{2}\cos(2\pi f_0 t) e^{-[\sigma_\phi^2-R_\phi(t)]} \)
Che ne pensi?
mi viene detto soltanto che \(\displaystyle \phi \) è un processo aleatorio stazionario e gaussiano e poi che per ipotesi \(\displaystyle s_0(t) \) è comunque un segnale a banda stretta.
Non ho trovato queste ipotesi utili, ma effettivamente potrei essere io a non vedere dove vanno usate.
Il motivo per cui le ho sempre considerate ininfluenti è perché, un attimo dopo aver presentato la formula del primo messaggio, mi viene detto che usando le ipotesi dette si trova che:
\(\displaystyle R_0(t)=\frac{A_0^2}{2}\cos(2\pi f_0 t) e^{-[\sigma_\phi^2-R_\phi(t)]} \)
Che ne pensi?
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