Calcolo di un volume
Tenendo presente che domani ho l'esame di analisi... eche attualmente riesco a risolverne meno della metà non mi aspetto molto, ma ho un problema con questo esercizio.
Calcolare il volume (detto V) compreso tra i due coni $z = 1-sqrt(2 x^2 + y^2)$ e $z = -2 + sqrt(8x^2 + 4y^2)$
Ho tentato parecchie strade e alla fine mi ritrovo sempre con la priezione dell'intersezione sul piano $xy$ come $y = +-sqrt(1-2x^2)$ che è una ellisse con i semiassi lunghi rispettivamente $1$ e $sqrt(2)/2$ ora da qui in poi ho dei grossi problemi ad andare avanti. Ho provato a parametrizzare
$ x = a*rho*cos(theta)$ con $0<=theta<=2pi$
$ y = b*rho*sin(theta)$ $0<=rho<=1$
ma escon fuori dei calcoli troppo complicati... senza contare che anche forzandoli sulla calcolatrice mi da soluzioni in forma integrale.... bho non sapre.
Ah il voleme è pari a $sqrt(2)/2 * pi$ .
Sono abbastanza demoralizzato.
Saluti
Calcolare il volume (detto V) compreso tra i due coni $z = 1-sqrt(2 x^2 + y^2)$ e $z = -2 + sqrt(8x^2 + 4y^2)$
Ho tentato parecchie strade e alla fine mi ritrovo sempre con la priezione dell'intersezione sul piano $xy$ come $y = +-sqrt(1-2x^2)$ che è una ellisse con i semiassi lunghi rispettivamente $1$ e $sqrt(2)/2$ ora da qui in poi ho dei grossi problemi ad andare avanti. Ho provato a parametrizzare
$ x = a*rho*cos(theta)$ con $0<=theta<=2pi$
$ y = b*rho*sin(theta)$ $0<=rho<=1$
ma escon fuori dei calcoli troppo complicati... senza contare che anche forzandoli sulla calcolatrice mi da soluzioni in forma integrale.... bho non sapre.
Ah il voleme è pari a $sqrt(2)/2 * pi$ .
Sono abbastanza demoralizzato.
Saluti
Risposte
Avendo i due coni:
$(z-1)^2 = 2x^2 + y^2$
$(z + 2)^2 = 8x^2 + 4y^2$
Il primo è centrato su $z = 1$, mentre il secondo a $z= -2$.
Integrando sul volume compreso tra i due coni e applicando Fubini:
$\int \int \int_{V} dx dy dz= \int \int_A (\int_{-2 + 2\sqrt(2x^2 + y^2)}^{1 - \sqrt(2x^2 + y^2)} dz )dx dy = \int \int_A 3(1- \sqrt(2x^2 + y^2)) dx dy$
dove $A := \{ (x,y) \in RR^2 | 2x^2 + y^2 \le 1 \}$
Passando in coordinate polari con:
$x = 1/(\sqrt(2))r cos (t)$
$y = r sin(t)$
hai che il determinante Jacobiano è $1/(\sqrt(2))r$, per cui, chiamando la trasformazione $\Gamma(r,t)$, hai che $\Gamma(A') = A$, dove:
$A' := \{ (r,t) \in RR^2 | 0\le r \le 1, 0\le t \le 2\pi\}$
e quindi:
$\int \int_A 3(1- \sqrt(2x^2 + y^2)) dx dy = 3 \int \int_(A') (1 - r) 1/(\sqrt(2)) r dr dt = 3/(\sqrt(2)) (\int_0^(2 \pi) dt) *(\int_0^1 (1 - r) r dr) = 6\pi/(\sqrt(2)) * 1/6 = \pi/(\sqrt(2))$
Se non hai capito( l'ho fatto di fretta) chiedi pure...
$(z-1)^2 = 2x^2 + y^2$
$(z + 2)^2 = 8x^2 + 4y^2$
Il primo è centrato su $z = 1$, mentre il secondo a $z= -2$.
Integrando sul volume compreso tra i due coni e applicando Fubini:
$\int \int \int_{V} dx dy dz= \int \int_A (\int_{-2 + 2\sqrt(2x^2 + y^2)}^{1 - \sqrt(2x^2 + y^2)} dz )dx dy = \int \int_A 3(1- \sqrt(2x^2 + y^2)) dx dy$
dove $A := \{ (x,y) \in RR^2 | 2x^2 + y^2 \le 1 \}$
Passando in coordinate polari con:
$x = 1/(\sqrt(2))r cos (t)$
$y = r sin(t)$
hai che il determinante Jacobiano è $1/(\sqrt(2))r$, per cui, chiamando la trasformazione $\Gamma(r,t)$, hai che $\Gamma(A') = A$, dove:
$A' := \{ (r,t) \in RR^2 | 0\le r \le 1, 0\le t \le 2\pi\}$
e quindi:
$\int \int_A 3(1- \sqrt(2x^2 + y^2)) dx dy = 3 \int \int_(A') (1 - r) 1/(\sqrt(2)) r dr dt = 3/(\sqrt(2)) (\int_0^(2 \pi) dt) *(\int_0^1 (1 - r) r dr) = 6\pi/(\sqrt(2)) * 1/6 = \pi/(\sqrt(2))$
Se non hai capito( l'ho fatto di fretta) chiedi pure...
La soluzione di pat87 è esaustiva e quindi posto la mia solo a titolo di curiosità.
I due coni hanno come vertici i punti (0,0,1) e (0,0,-2) e come base comune l'ellisse del piano xy di equazioni
${(2x^2+y^2=1),(z=0):}$
Se si taglia il primo cono col generico piano z=z esso verrà secato secondo l'ellisse
${(z=z),(2x^2+y^2=(1-z)^2):}$
di area $S_1=pi*((1-z)/(sqrt2))*(1-z)$ e quindi il volume totale di questo primo cono è:
$V_1=(pi)/(sqrt2)int_0^1(1-z)^2dz=(pi)/(sqrt2)|(z-1)^3/3|_0^1=pi/(3sqrt2)$
Analogamente se si taglia il secondo cono col generico piano z=z esso verrà secato secondo l'ellisse
${(z=z),(8x^2+4y^2=(z+2)^2):}$
di area $S_2=pi*((z+2)/(2sqrt2))*((z+2)/2)$ e quindi il volume totale di questo secondo cono è:
$V_2=(pi)/(4sqrt2)int_(-2)^0(z+2)^2dz=(pi)/(4sqrt2)|(z+2)^3/3|_(-2)^0=(2pi)/(3sqrt2)$
Pertanto il volume complessivo sarà $V=V_1+V_2=(3pi)/(3sqrt2)=(pi)/(sqrt2)$
Se non si fosse compreso il procedimento,preciso che ho applicato il principio di Cavalieri sommando le "fette" infinitesime di ciascun cono.
I due coni hanno come vertici i punti (0,0,1) e (0,0,-2) e come base comune l'ellisse del piano xy di equazioni
${(2x^2+y^2=1),(z=0):}$
Se si taglia il primo cono col generico piano z=z esso verrà secato secondo l'ellisse
${(z=z),(2x^2+y^2=(1-z)^2):}$
di area $S_1=pi*((1-z)/(sqrt2))*(1-z)$ e quindi il volume totale di questo primo cono è:
$V_1=(pi)/(sqrt2)int_0^1(1-z)^2dz=(pi)/(sqrt2)|(z-1)^3/3|_0^1=pi/(3sqrt2)$
Analogamente se si taglia il secondo cono col generico piano z=z esso verrà secato secondo l'ellisse
${(z=z),(8x^2+4y^2=(z+2)^2):}$
di area $S_2=pi*((z+2)/(2sqrt2))*((z+2)/2)$ e quindi il volume totale di questo secondo cono è:
$V_2=(pi)/(4sqrt2)int_(-2)^0(z+2)^2dz=(pi)/(4sqrt2)|(z+2)^3/3|_(-2)^0=(2pi)/(3sqrt2)$
Pertanto il volume complessivo sarà $V=V_1+V_2=(3pi)/(3sqrt2)=(pi)/(sqrt2)$
Se non si fosse compreso il procedimento,preciso che ho applicato il principio di Cavalieri sommando le "fette" infinitesime di ciascun cono.
Bellissimo come metodo, non me lo ricordavo! È anche molto più semplice da capire...
Grazie mille dell'informazione manilo!
Grazie mille dell'informazione manilo!
Pat, grazie per il tuo metodo. L'ho visto solo ora. Ieri dopo svariate ore di prove sono arrivato alla soluzione che mi ha proposto manlio.
Ma tanto mi hanno ribocciato ad analisi oggi... quindi ci dovrò sbattere la testa per molto tempo ancora
Ma tanto mi hanno ribocciato ad analisi oggi... quindi ci dovrò sbattere la testa per molto tempo ancora
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