Calcolo di un limite fratto con somma di esponenziale e seno
Buonasera,
come posso risolvere questa tipologia di limiti?
$lim_(x->0+)((sqrt(e^x + sin 2x) - 1)/(log(e^x+sin x)))$
$lim_(x->0+)((sqrt(e^x + sin 2x) - 1)/(log(e^x-sin x)))$
Sul libro ci sono questi 2 esercizi praticamente uguali che differiscono solo dal segno nel denominatore.
Sono una forma indeterminata $0/0$ ma non credo sia il caso di usare De l'Hopital data la complessità del numeratore e denominatore.
Le uniche scomposizioni che ho trovato sono:
-quella di $sin 2x = 2 sin x cos x$ ma credo che confonda ulteriormente le cose;
-quella del logaritmo $log(e^x\pmsin x) = log e^x(1\pm(sin x/e^x)) = x + log(1\pm(sin x/e^x))$. A questo punto nel caso con il + ho potuto usare l'equivalenza $log(1+(sin x/e^x)) ~= sin x/e^x$ per $ sin x/e^x -> 0$, nel caso con il - neanche quello.
In ogni caso purtroppo non ho trovato alcun metodo per poter scomporre il numeratore a parte trasformare la radice in una potenza fratta.
Come posso fare?
come posso risolvere questa tipologia di limiti?
$lim_(x->0+)((sqrt(e^x + sin 2x) - 1)/(log(e^x+sin x)))$
$lim_(x->0+)((sqrt(e^x + sin 2x) - 1)/(log(e^x-sin x)))$
Sul libro ci sono questi 2 esercizi praticamente uguali che differiscono solo dal segno nel denominatore.
Sono una forma indeterminata $0/0$ ma non credo sia il caso di usare De l'Hopital data la complessità del numeratore e denominatore.
Le uniche scomposizioni che ho trovato sono:
-quella di $sin 2x = 2 sin x cos x$ ma credo che confonda ulteriormente le cose;
-quella del logaritmo $log(e^x\pmsin x) = log e^x(1\pm(sin x/e^x)) = x + log(1\pm(sin x/e^x))$. A questo punto nel caso con il + ho potuto usare l'equivalenza $log(1+(sin x/e^x)) ~= sin x/e^x$ per $ sin x/e^x -> 0$, nel caso con il - neanche quello.
In ogni caso purtroppo non ho trovato alcun metodo per poter scomporre il numeratore a parte trasformare la radice in una potenza fratta.
Come posso fare?
Risposte
Prova ad usare i limiti notevoli.
ok penso di esserci arrivato:
NUMERATORE:
aggiungo e sottraggo 1 all'argomento della radice del numeratore
$e^x-1+sen 2x+1$
per $x->0$ posso fare le seguenti equivalenze
$e^x-1 ~= x$
$sin 2x ~= 2x$
quindi:
$x+2x+1 = 3x+1$
allora il numeratore risulta essere:
$sqrt(3x+1)-1 ~= 3/2x$
DENOMINATORE CASO +:
aggiungo e sottraggo 1 all'argomento del logaritmo
$e^x-1+sen x+1$
per $x->0$ posso fare le seguenti equivalenze
$e^x-1~= x$
$sin x ~= x$
quindi:
$x+x+1 = 2x+1$
allora il denominatore risulta essere:
$log(2x+1) ~= 2x$
il limite diventa quindi:
$(3/2x)/2x = 3/4$
DENOMINATORE CASO -:
in questo caso ho un piccolo dubbio ma credo che non possa applicare le equivalenze notevoli perchè
$e^x-1 - sin2x ~= x - x = 0$
e quindi, dal momento che la somma risulta essere 0, non posso applicare questa equivalenza.
Mi tocca dunque andare ad usare De l'Hopital in questo caso.
Il ragionamento è corretto?
NUMERATORE:
aggiungo e sottraggo 1 all'argomento della radice del numeratore
$e^x-1+sen 2x+1$
per $x->0$ posso fare le seguenti equivalenze
$e^x-1 ~= x$
$sin 2x ~= 2x$
quindi:
$x+2x+1 = 3x+1$
allora il numeratore risulta essere:
$sqrt(3x+1)-1 ~= 3/2x$
DENOMINATORE CASO +:
aggiungo e sottraggo 1 all'argomento del logaritmo
$e^x-1+sen x+1$
per $x->0$ posso fare le seguenti equivalenze
$e^x-1~= x$
$sin x ~= x$
quindi:
$x+x+1 = 2x+1$
allora il denominatore risulta essere:
$log(2x+1) ~= 2x$
il limite diventa quindi:
$(3/2x)/2x = 3/4$
DENOMINATORE CASO -:
in questo caso ho un piccolo dubbio ma credo che non possa applicare le equivalenze notevoli perchè
$e^x-1 - sin2x ~= x - x = 0$
e quindi, dal momento che la somma risulta essere 0, non posso applicare questa equivalenza.
Mi tocca dunque andare ad usare De l'Hopital in questo caso.
Il ragionamento è corretto?
Il numeratore in ogni caso, come giustamente hai fatto notare ,è asintotico ad $3/2x $, in simboli $sqrt (e^x+sin (2x))-1~~ 3/2x $.
Quindi sostituendo possiamo riscrivere il limite iniziale nella forma $lim_(x->0^+)(3/2x)/log (e^x\pmsinx) $
Nel caso $log (e^x+sinx) $, avendo all'interno dell'argomento del logaritmo termini in $x $ additivi, possiamo ancora usare asintotici, quindi $log (e^x+sinx)~~log (1+x+sinx)~~(x+sinx)~~2x $, ed sostituendo. il limite iniziale diventa $lim_(x->0^+)(3/2x)/(2x)=3/4$;
Nel caso $log (e^x-sinx) $ , se provi ad usare l'asintotico ottieni $lim_(x->0^+)(3/2x)/log (e^x-sinx)=lim_(x->0^+)(3/2x)/(x-x)=(3/2×0)/(0-0)=0/0$,
ti accorgi che ricadi in una forma indeterminata , quindi l'asintotico che in realtà equivale al limite notevole risulta insufficiente per la determinazione del limite, e quindi se non si conoscono gli sviluppi in serie di Taylor , che sono lo strumento più efficace , in quanto includono gli asintotici, e fanno vedere che in questo caso l'asintotico a denominatore corrisponde ad uno sviluppo insufficiente ai fini del calcolo del limite, l'unico modo diventa quello di usare Hopital, $lim_(x->0^+)(3/2x)/log (e^x-sinx)=lim_(x->0^+)(3/2)×((e^x-sinx)/(e^x-cosx))=(3/2)×(1/0)=infty $
Quindi sostituendo possiamo riscrivere il limite iniziale nella forma $lim_(x->0^+)(3/2x)/log (e^x\pmsinx) $
Nel caso $log (e^x+sinx) $, avendo all'interno dell'argomento del logaritmo termini in $x $ additivi, possiamo ancora usare asintotici, quindi $log (e^x+sinx)~~log (1+x+sinx)~~(x+sinx)~~2x $, ed sostituendo. il limite iniziale diventa $lim_(x->0^+)(3/2x)/(2x)=3/4$;
Nel caso $log (e^x-sinx) $ , se provi ad usare l'asintotico ottieni $lim_(x->0^+)(3/2x)/log (e^x-sinx)=lim_(x->0^+)(3/2x)/(x-x)=(3/2×0)/(0-0)=0/0$,
ti accorgi che ricadi in una forma indeterminata , quindi l'asintotico che in realtà equivale al limite notevole risulta insufficiente per la determinazione del limite, e quindi se non si conoscono gli sviluppi in serie di Taylor , che sono lo strumento più efficace , in quanto includono gli asintotici, e fanno vedere che in questo caso l'asintotico a denominatore corrisponde ad uno sviluppo insufficiente ai fini del calcolo del limite, l'unico modo diventa quello di usare Hopital, $lim_(x->0^+)(3/2x)/log (e^x-sinx)=lim_(x->0^+)(3/2)×((e^x-sinx)/(e^x-cosx))=(3/2)×(1/0)=infty $
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