Calcolo di un limite, errore nel procedimento
Ho provato a risolvere il limite:
$lim_(x->-oo)(log|e^(2x)-e^x|)/x$
dalla soluzione, e da un procedimento diverso che ho usato, so che deve venire 1.
Però, questo procedimento, perchè è sbagliato? Dove sta l'errore?
$lim_(x->-oo)(log|e^(2x)-e^x|)/x=lim_(x->-oo)(log|e^(2x)|)/x=lim_(x->-oo)(2x)/x=2$
probabilmente è sbagliato il primo passaggio, l'asintoticità è a $(log|-e^(x)|)/x$, ma perchè?
Grazie
$lim_(x->-oo)(log|e^(2x)-e^x|)/x$
dalla soluzione, e da un procedimento diverso che ho usato, so che deve venire 1.
Però, questo procedimento, perchè è sbagliato? Dove sta l'errore?
$lim_(x->-oo)(log|e^(2x)-e^x|)/x=lim_(x->-oo)(log|e^(2x)|)/x=lim_(x->-oo)(2x)/x=2$
probabilmente è sbagliato il primo passaggio, l'asintoticità è a $(log|-e^(x)|)/x$, ma perchè?
Grazie
Risposte
è sbagliato $|e^(2x)-e^x|=|e^(2x)|$
infatti non puoi giustificarlo.
va bene se $x to +infty$ perchè il termine $e^x$ diventa ininfluente.
mentre per $x to - infty$ non è vero.
infatti non puoi giustificarlo.
va bene se $x to +infty$ perchè il termine $e^x$ diventa ininfluente.
mentre per $x to - infty$ non è vero.
mmm, e perchè? $e^2x$ non va a $0$ più rapidamente di $e^(x)$ per $x->-oo$?
lo fa: $e^(2x)$ va a $0$ più velocemente di $e^x$ per $x to -infty$.
ma allora non ti devi confondere, rifletti:questo vuol dire che per $x to -infty$ si ha che $e^(2x)$ diventa molto più piccolo di $e^x$, quindi è $e^(2x)$ a diventare ininfluente!
infatti l'uguaglianza lecita, per $x to -infty$ è $|e^(2x)-e^x|=|e^x|$
se provi a sostitutire così il limite viene giusto.
ma allora non ti devi confondere, rifletti:questo vuol dire che per $x to -infty$ si ha che $e^(2x)$ diventa molto più piccolo di $e^x$, quindi è $e^(2x)$ a diventare ininfluente!
infatti l'uguaglianza lecita, per $x to -infty$ è $|e^(2x)-e^x|=|e^x|$
se provi a sostitutire così il limite viene giusto.
ok, ma negli infinitesimi, non cosideriamoininfluenti i termini che vanno a 0 più lentamente?
Tipo per $x->0$ $x^2$ è ininfluente rispetto a $x$ perchè arriva a $0$ più lentamente...
qualcosa non mi è chiaro...
Tipo per $x->0$ $x^2$ è ininfluente rispetto a $x$ perchè arriva a $0$ più lentamente...
qualcosa non mi è chiaro...
Quando $x->0$ $x^2$ va a zero più velocemente di $x$ e non più piano
hai ragione, quindi, riassumendo, quando è che devo scegliere l'ordine superiore e quando l'ordine inferiore in infiniti e infinitesimi?
non cercare di ricordare formule che hai studiato su infiniti o infinitesimi o cose del genere: ragiona!
tu hai $|e^(2x)-e^x|$ per $x to -infty$
questo vuol dire che se prendiamo un $x$ piccolo, quanto varrà $|e^(2x)-e^x|$ ?
io so che $e^(2x)$ è molto più piccolo di $e^x$, perchè il suo esponente raddoppia, e la diminuzione è esponenziale..
quindi se i faccio la differenza tra i due, qual'è quello che conta? quello che è più grande, e $e^x$ è molto più grande.
tutto qui. è chiaro?
tu hai $|e^(2x)-e^x|$ per $x to -infty$
questo vuol dire che se prendiamo un $x$ piccolo, quanto varrà $|e^(2x)-e^x|$ ?
io so che $e^(2x)$ è molto più piccolo di $e^x$, perchè il suo esponente raddoppia, e la diminuzione è esponenziale..
quindi se i faccio la differenza tra i due, qual'è quello che conta? quello che è più grande, e $e^x$ è molto più grande.
tutto qui. è chiaro?
abbastanza, il problema è che entra in contraddizione con la seguente regola generale (letta sul libro):
se $x->oo$ $m>n$ allora $x^m+x^n$ è asisntotico con $x^m$...
se $x->oo$ $m>n$ allora $x^m+x^n$ è asisntotico con $x^m$...
attenzione, devi interpretare bene le cose:
da una parte hai $x^m$ e $x^n$ che sono funzioni polinomiali
dall'altra hai $e^(2x)$ ed $e^x$ che sono esponenziali (ovvero l'incognita compare all'esponente).
non puoi quindi applicare quella regola.
è per questo che sono contrario a regole e trucchetti mnemonici di questo tipo, è sempre molto meglio ragionare in ogni caso!
da una parte hai $x^m$ e $x^n$ che sono funzioni polinomiali
dall'altra hai $e^(2x)$ ed $e^x$ che sono esponenziali (ovvero l'incognita compare all'esponente).
non puoi quindi applicare quella regola.
è per questo che sono contrario a regole e trucchetti mnemonici di questo tipo, è sempre molto meglio ragionare in ogni caso!
beh, ma ponendo $e^x=t$ ottengo $t^2-t$ che è asintotico a $t^2$ cioè $e^(2x)$...
non è corretto ciò che affermi, perchè:
se io pongo $e^x=t$ ed $x$ tende a $-infty$, dove tenderà $t$? a $0^+$.
quindi la tua regola di prima non puoi applicarla lo stesso.
e infatti se tu confronti $t^2$ e $t$ per $t to 0$, avrai che $t^2$ va più velocemente a $0$, e proprio per questo nella loro differenza conta molto di più la componente $t$, che andando a $0$ più lentamente, avrà un valore maggiore.
se io pongo $e^x=t$ ed $x$ tende a $-infty$, dove tenderà $t$? a $0^+$.
quindi la tua regola di prima non puoi applicarla lo stesso.
e infatti se tu confronti $t^2$ e $t$ per $t to 0$, avrai che $t^2$ va più velocemente a $0$, e proprio per questo nella loro differenza conta molto di più la componente $t$, che andando a $0$ più lentamente, avrà un valore maggiore.
finalmente è chiaro... grazie!
prego!
fai bene ad esprimere tutti i tuoi dubbi finchè non è completamente chiaro comunque,
siamo qui per questo
fai bene ad esprimere tutti i tuoi dubbi finchè non è completamente chiaro comunque,
siamo qui per questo
"blackbishop13":
lo fa: $e^(2x)$ va a $0$ più velocemente di $e^x$ per $x to -infty$.
ma allora non ti devi confondere, rifletti:questo vuol dire che per $x to -infty$ si ha che $e^(2x)$ diventa molto più piccolo di $e^x$, quindi è $e^(2x)$ a diventare ininfluente!
infatti l'uguaglianza lecita, per $x to -infty$ è $|e^(2x)-e^x|=|e^x|$
se provi a sostitutire così il limite viene giusto.
Capisco che sarò troppo intransigente, ma come matematico sono piuttosto rigoroso;
l'uguaglianza non è mai lecita in casi come questo, dove ci sono due possibili cose da fare: o poni l'uguaglianza e utilizzi i simboli di Landau, oppure poni il simbolo di asintotico.
E' buon uso scrivere correttamente anche per non far prendere "vezzi" sbagliati a coloro che studiano.
Non me ne volere Blackbishop, ma sulla scrittura sono molto rigoroso!
Pace e amore!
sono anche stato attento a dire "uguaglianza lecita", quindi non priorio uguaglianza.. 
dopo la discussione costruttiva con gugo82 di pochi giorni fa, sto abbastanza attento ai particolari: era chiaro che dotmanu è abbastanza esperto di queste cose per poter comprendere in pieno e senza fraintendimenti una simbologia ed un concetto tra l'altro abbastanza semplici.
il rigore matematico a volte sta anche nel capire quando è necessario un certo tipo di formalismo, e quando invece ci si può permettere di dare certe cose per scontate per arrivare a concetti superiori con più facilità e chiarezza.
tutto IMHO ovviamente.
perciò mi sembra un commento un po' tirato, ma accetto serenamente la critica, e cercherò di farne tesoro.
grazie ObServer
dopo la discussione costruttiva con gugo82 di pochi giorni fa, sto abbastanza attento ai particolari: era chiaro che dotmanu è abbastanza esperto di queste cose per poter comprendere in pieno e senza fraintendimenti una simbologia ed un concetto tra l'altro abbastanza semplici.
il rigore matematico a volte sta anche nel capire quando è necessario un certo tipo di formalismo, e quando invece ci si può permettere di dare certe cose per scontate per arrivare a concetti superiori con più facilità e chiarezza.
tutto IMHO ovviamente.
perciò mi sembra un commento un po' tirato, ma accetto serenamente la critica, e cercherò di farne tesoro.
grazie ObServer
"blackbishop13":
sono anche stato attento a dire "uguaglianza lecita", quindi non priorio uguaglianza..
dopo la discussione costruttiva con gugo82 di pochi giorni fa, sto abbastanza attento ai particolari: era chiaro che dotmanu è abbastanza esperto di queste cose per poter comprendere in pieno e senza fraintendimenti una simbologia ed un concetto tra l'altro abbastanza semplici.
il rigore matematico a volte sta anche nel capire quando è necessario un certo tipo di formalismo, e quando invece ci si può permettere di dare certe cose per scontate per arrivare a concetti superiori con più facilità e chiarezza.
tutto IMHO ovviamente.
perciò mi sembra un commento un po' tirato, ma accetto serenamente la critica, e cercherò di farne tesoro.
grazie ObServer
oh, ma tu non devi fare caso a me; io seguo un fascio di rette anche quando spalmo il burro sopra un toast. Vai pure avanti così, queste precisazioni sono solo un mio vizio di eleganza
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