Calcolo di un limite

[Obidream]

Salve a tutti, oggi mi sono trovato a dover risolvere il seguente limite:

$lim_(x->+infty) (x/(x+4))^(3x)$

Mi trovo in una forma di indeterminazione del tipo $1^infty$ ed in questi casi conviene scrivere il limite come:

$lim_(x->+infty) exp(3x*log(x/(x+4)))$

Volendo potrei usare la proprietà dei logaritmi ma non mi porta lontano perché all'esponente ho sempre una forma indeterminata del tipo $infty*0$

[Seneca1]

$lim_(x->+infty) exp(3x*log(1 - 4/(x+4)))$

Ora usa la seguente sostituzione $- 4/(x+4) = t$.

[Obidream]

Avevo pensato una cosa del genere stamattina

$lim_(x->+infty) e^((3x)log(1-4/(x+4)))$

Ma $log(1-4/(x+4))$ per $x->+infty$ è equivalente( non riesco a fare il simbolo di landau)
ad $-4/(x+4)$ quindi nell'esponente della $e$ abbiamo, facendo i conti:

$-12x/(x+4)$, che per $x->+infty$ è uguale a $-12$, quindi si ottiene che:


$lim_(x->+infty) e^((3x)log(1-4/(x+4)))=e^-12$

Vi pare sensato?

[Plepp]

Secondo me va' benissimo sono un fan delle stime asintotiche

[Obidream]

"Plepp":Secondo me va' benissimo

Se sei d'accordo con me sull'analisi inizia a preoccuparti

[Plepp]

Mannooooo

[Obidream]

Se invece avessi questo( che per la cronaca è lo stesso che sta svolgendo Silvia, ma siccome non fanno i simboli di Landau non posso darle una mano):

$exp-(3x^3)/(2x^2-1)*log((x^2-x+1)/x^2)$

Prendo $log((x^2-x+1)/x^2)$ e lo riscrivo come $log(1-(x+1)/x^2)$ e dico che, per $x->+infty$, è equivalente a $-(x+1)/x^2$ e poi si fanno i conti?

[silvia851-votailprof]

scusa ma questo non è un rapporto tra logaritmi???? io per la formula dei logaritmi l'ho trasmormato in $log(x^2-x+1)-logx^2$ ho fatto male?????

[Obidream]

"silvia_85":scusa ma questo non è un rapporto tra logaritmi???? io per la formula dei logaritmi l'ho trasmormato in $log(x^2-x+1)-logx^2$ ho fatto male?????

Per il metodo che ho cercato di usare io si, però il bello( ) della matematica è anche questo, sicuramente si può ottenere lo stesso risultando trasformando il logaritmo

[silvia851-votailprof]

tipo????

[silvia851-votailprof]

anche perchè io dopo questa trasformazione non sapendo come andare avanti mi sono calcolata i logaritmi di entrambe....ma sono sicura che ho sbagliato in quanto non lo dovevo fare

[Obidream]

"silvia_85":anche perchè io dopo questa trasformazione non sapendo come andare avanti mi sono calcolata i logaritmi di entrambe....ma sono sicura che ho sbagliato in quanto non lo dovevo fare

In che senso calcolare?

[silvia851-votailprof]

mi sono andata a trovare le soluzioni accettate.....ma vabbè lascia stare ho fatto una cavolata.....a parte ciò....poi non so come andare avanti e non capisco come seneca sia arrivato alla soluzione di $e^(3/2)$ che in effetti è la soluzione esatta

[Obidream]

"silvia_85":mi sono andata a trovare le soluzioni accettate.....ma vabbè lascia stare ho fatto una cavolata.....a parte ciò....poi non so come andare avanti e non capisco come seneca sia arrivato alla soluzione di $e^(3/2)$ che in effetti è la soluzione esatta

Neanche io saprei arrivarci con i limiti notevoli Comunque, un motivo in più per preparare tutti gli argomenti e non sceglierne solo uno, perché come vedi può sempre capitare qualcosa che ti sfugge

[silvia851-votailprof]

capito quindi mi sa che devo aspettare che si collegano sia seneca che fuce

[avmarshall]

E' banale arrivare al limite notevole, se lo conosci:

$ (x/(x+4))^(3x)=((x+4)/x)^(-3x)=(1+4/x)^(-3x)=e^(-12) $

Ho usato il limite notevole:

$ lim_(x -> oo ) (1+a/x)^(bx)=e^(ab) $

Su wikipedia trovate la tabella con i limiti più importanti.

[silvia851-votailprof]

ho visto la tabella su wikipedia...ma vorrei capire come hai ottenuto $(x/(x+4))^(3x)$ ?

[avmarshall]

Era il limite di partenza.

[silvia851-votailprof]

a ma noi stavamo analizzando questo limite $lim_(x->oo)((x^2-x+1)/(x^2))^(-(3x^3)/(2x^2-1))$