Calcolo di un limite
Salve,
Ho provato a calcolare un limite, ma poichè non ho il risultato volevo sapere se è giusto.
$lim_(x->0)cos((Pi/2)*cos(x))/sin(sin(x))$
La strada che ho provato è stata quella di semplificare il denominatore con il limite notevole del seno e il numeratore l'ho ricondotto al limite notevole del coseno, aggiungendo a sottraendo 1 e moltiplicando e dividendo per l'argomento del coseno, al quadrato.
Il mio risultato era era più o meno infinito. Calcolando però il limite con il teorema di De L'Hopital il risultato era 0.
Ho provato a calcolare un limite, ma poichè non ho il risultato volevo sapere se è giusto.
$lim_(x->0)cos((Pi/2)*cos(x))/sin(sin(x))$
La strada che ho provato è stata quella di semplificare il denominatore con il limite notevole del seno e il numeratore l'ho ricondotto al limite notevole del coseno, aggiungendo a sottraendo 1 e moltiplicando e dividendo per l'argomento del coseno, al quadrato.
Il mio risultato era era più o meno infinito. Calcolando però il limite con il teorema di De L'Hopital il risultato era 0.
Risposte
L'argomento del coseno più esterno tende a $\pi/2$, dunque non puoi applicare direttamente il limite notevole per il coseno.
Puoi scrivere
\[
\cos (\frac{\pi}{2} \cos x) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} x^2 + o(x^2)) = \sin(\frac{\pi}{4} x^2 + o(x^2)) = \frac{\pi}{4} x^2 + o(x^2).
\]
Poiché il denominatore è $x+o(x)$ vedi subito che il limite esiste e vale $0$.
Puoi scrivere
\[
\cos (\frac{\pi}{2} \cos x) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} x^2 + o(x^2)) = \sin(\frac{\pi}{4} x^2 + o(x^2)) = \frac{\pi}{4} x^2 + o(x^2).
\]
Poiché il denominatore è $x+o(x)$ vedi subito che il limite esiste e vale $0$.
Grazie mille!Davvero gentile 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo