Calcolo di un limite

[Martinik92]

Salve a tutti!!
Oggi ho avuto l'esame di matematica 1 e mi sono imbattuta in un limite che sembrava semplice da svolgere, probabilmente per molti di voi lo è, ma più che lo provo a svolgere e più che mi torna un risultato diverso da quello che la professoressa ha detto a fine esame.
il limite è : lim x->+inf radice quadrata di (2+2x^2+x^4) - radice quadrata di (1+3x+x^4)
quindi io l'ho risolto, vedendo che era un F.I +inf-inf
ho razionalizzato.... mi torna nuovamente una forma indeterminata inf/inf.
a questo punto ho raccolto la x di grado maggiore al numeratore e al denominatore.
e mi torna 2/radice quadrata di 2.

il risultato invece doveva essere 1.
se qualcuno fosse così gentile da spiegarmi i passaggi per capire dove ho sbagliato che non capisco.
grazie!!!!

[Noisemaker]

Probabilmente avrai sbagliato qualche calcolo:
\begin{align}
&\lim_{x\to+\infty}\sqrt{2+2x^2+x^4}-\sqrt{1+3x+x^4}\cdot\frac{\sqrt{2+2x^2+x^4}+\sqrt{1+3x+x^4}}{\sqrt{2+2x^2+x^4}+\sqrt{1+3x+x^4}}\\
=&\lim_{x\to+\infty} \frac{2+2x^2+x^4 - 1-3x-x^4 }{\sqrt{2+2x^2+x^4}+\sqrt{1+3x+x^4}}=\lim_{x\to+\infty} \frac{ 2x^2 - 3x+1 }{\sqrt{2+2x^2+x^4}+\sqrt{1+3x+x^4}}\\
\sim&\lim_{x\to+\infty} \frac{ 2x^2 }{ 2x^2 }=1.
\end{align}

[Martinik92]

ciao!
prima di tutto grazie per la risposta, per seconda cosa volevo chiederti quando arrivi al tuo penultimo passaggio, come fai a scomporre il numeratore ed il denominatore e ricavare da entrambi 2x^2? ti ringrazio.
fino al tuo penultimo procedimento avrei svolto come te, ma poi avrei raccolto un x^2 al numeratore e un x^4 al denominatore (dentro la radice).

[Noisemaker]

ma in realtà quello che dice è corretto, infatti:
\begin{align}
.... \lim_{x\to+\infty} \frac{ 2x^2 - 3x+1 }{\sqrt{2+2x^2+x^4}+\sqrt{1+3x+x^4}} =& \lim_{x\to+\infty} \frac{ x^2\left(2 - \frac{3x}{x^2}+\frac{1}{x^2}\right) }{\sqrt{x^4\left(\frac{2 }{x^4}+\frac{2x^2}{x^4}+1\right)}+\sqrt{x^4\left(1+\frac{3x}{x^4}+\frac{1}{x^4}\right)}}\\
=& \lim_{x\to+\infty} \frac{ x^2\left(2 - \frac{3 }{x }+\frac{1}{x^2}\right) }{x^2\sqrt{\frac{2 }{x^4}+\frac{2 }{x^2}+1}+x^2\sqrt{ 1+\frac{3 }{x^3}+\frac{1}{x^4} }}\\
=& \lim_{x\to+\infty} \frac{ x^2\left(2 - \frac{3x}{x^2}+\frac{1}{x^2}\right) }{2x^2\left(\sqrt{\frac{2 }{x^4}+\frac{2 }{x^2}+1}+ \sqrt{ 1+\frac{3 }{x^3}+\frac{1}{x^4} }\right)} \\\
=&\lim_{x\to+\infty} \frac{2 x^2}{2x^2}=1
\end{align}