Calcolo di un limite
Devo calcolare il limite per $(x,y)->(0,0)$ di $(1-cos(xy))/(x^2+y^2)$. Sbirciando le soluzioni, ho visto che è zero.
Allora, innanzitutto ho osservato che la funzione ristretta a ogni retta passante per l'origine ammette come limite zero. Dunque ho dedotto che o il limite esiste ed è nullo, o non esiste. Fatto ciò ho cercato di verificare tramite la definizione che il limite è nullo, invano. Dovrei dimostrare che vale la disuguaglianza $|(1-cos(xy))/(x^2+y^2)|<=sqrt(x^2+y^2)$, tuttavia l'unica maggiorazione che riesco a fare è $3/(x^2+y^2)$ che palesemente è troppo forte. Qualcuno mi può aiutare?
Grazie!
Allora, innanzitutto ho osservato che la funzione ristretta a ogni retta passante per l'origine ammette come limite zero. Dunque ho dedotto che o il limite esiste ed è nullo, o non esiste. Fatto ciò ho cercato di verificare tramite la definizione che il limite è nullo, invano. Dovrei dimostrare che vale la disuguaglianza $|(1-cos(xy))/(x^2+y^2)|<=sqrt(x^2+y^2)$, tuttavia l'unica maggiorazione che riesco a fare è $3/(x^2+y^2)$ che palesemente è troppo forte. Qualcuno mi può aiutare?
Grazie!
Risposte
Ciao,Lis!
Visto che ti piace sbirciare,fallo pure ora
.
Saluti dal web.
Visto che ti piace sbirciare,fallo pure ora
.Saluti dal web.
Stiamo scherzando! Non è molto piu semplice scrivere
$1-\cos(xy)=1/2 (x^2 y^2)+o(x^2 y^2)$
Da cui il limite diventa
$\lim_{(x,y)\to 0} (x^2 y^2)/(2(x^2+y^2))$ avendo trascurato l'o-piccolo per il principio di sostituzione degli infinitesimi?
$1-\cos(xy)=1/2 (x^2 y^2)+o(x^2 y^2)$
Da cui il limite diventa
$\lim_{(x,y)\to 0} (x^2 y^2)/(2(x^2+y^2))$ avendo trascurato l'o-piccolo per il principio di sostituzione degli infinitesimi?
E poi come lo calcoli quel limite?
Sicuro che i nostri due procedimenti non siano,anche computazionalmente
,equivalenti?
La differenza la fà il gusto(che non può esser oggetto di contesa,credo..):
ed io non amo gli sviluppi di Taylor,se non quando strettamente necessari.
Saluti dal web.
Sicuro che i nostri due procedimenti non siano,anche computazionalmente
,equivalenti?La differenza la fà il gusto(che non può esser oggetto di contesa,credo..):
ed io non amo gli sviluppi di Taylor,se non quando strettamente necessari.
Saluti dal web.
Il nostro prof ci faceva na capa così con taylor...comunque ci provo...bisogna trovare una funzione che maggiori $x^2 y^2$ e che sia un o piccolo di $x^2+y^2$.
Per esempio proviamo che $x^2 y^2 \leq x^2(x^2+y^2)$ (il che è ovvio). Ma allora la funzione è costretta tra 0, perchè è positiva, e $x^2(x^2+y^2)$, in grado di semplificarsi col denominatore. Ma allora il limite è 0!
Altro trucco: coordinate polari: infatti passandovi arriviamo a
$\lim_{\rho\to 0^+}(\rho^4 cos^2\theta\sin^2\theta)/(\rho^2)=0$
Per esempio proviamo che $x^2 y^2 \leq x^2(x^2+y^2)$ (il che è ovvio). Ma allora la funzione è costretta tra 0, perchè è positiva, e $x^2(x^2+y^2)$, in grado di semplificarsi col denominatore. Ma allora il limite è 0!
Altro trucco: coordinate polari: infatti passandovi arriviamo a
$\lim_{\rho\to 0^+}(\rho^4 cos^2\theta\sin^2\theta)/(\rho^2)=0$
N.B. Ci riconduciamo al caso $g(\rho) f(\theta)$ con $f(\theta)$ limitata, e quindi vale la continuità uniforme rispetto a $\theta$. Questo ci legittima all'uso delle coordinate polari
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