Calcolo di un integrale triplo
Buon pomeriggio ragazzi,
sono alle prese da ieri con questo integrale triplo e non riesco a risolverlo in nessuno modo! Ho provato sia con il cambiamento di variabili in forma polare, sia con quelle cilindriche. Probabilmente sbaglio nel calcolo dei domini. La traccia è:
Calcolare l'integrale triplo $\int int int_D e^z dxdydz$ con $D={(x,y,z)inRR^3: x^2+y^2+z^2-1<=0}$
Ho pensato prima di passare alle coordinate polari:
$\{(x=\rhosen\varphicos\theta),(y=\rhosen\varphi\sen\theta),(z=\rhocos\varphi):}$
e in questo modo il nuovo dominio diventava:
$T={(\rho,\theta,\varphi)inRR^3:0<=\rho<=1, 0<=\varphi<=\pi, 0<=\theta<=2\pi}$
Ma in questo modo l'integrale mi viene osceno e non riesco a risolverlo.
Allora ho provato a passare alle coordinante cilindriche:
$\{(x=\rhocos\theta),(y=\rhosen\theta),(z=z):}$
e in questo modo il nuovo dominio diventava:
$T={(\rho,\theta,\varphi)inRR^3:0<=\rho<=1, 0<=\theta<=2\pi, -sqrt{1-\rho^2}<=z<=sqrt{1-\rho^2} }$
Ma anche così l'integrale mi diventa orribile e non riesco a risolverlo.
Suggerimenti?
sono alle prese da ieri con questo integrale triplo e non riesco a risolverlo in nessuno modo! Ho provato sia con il cambiamento di variabili in forma polare, sia con quelle cilindriche. Probabilmente sbaglio nel calcolo dei domini. La traccia è:
Calcolare l'integrale triplo $\int int int_D e^z dxdydz$ con $D={(x,y,z)inRR^3: x^2+y^2+z^2-1<=0}$
Ho pensato prima di passare alle coordinate polari:
$\{(x=\rhosen\varphicos\theta),(y=\rhosen\varphi\sen\theta),(z=\rhocos\varphi):}$
e in questo modo il nuovo dominio diventava:
$T={(\rho,\theta,\varphi)inRR^3:0<=\rho<=1, 0<=\varphi<=\pi, 0<=\theta<=2\pi}$
Ma in questo modo l'integrale mi viene osceno e non riesco a risolverlo.
Allora ho provato a passare alle coordinante cilindriche:
$\{(x=\rhocos\theta),(y=\rhosen\theta),(z=z):}$
e in questo modo il nuovo dominio diventava:
$T={(\rho,\theta,\varphi)inRR^3:0<=\rho<=1, 0<=\theta<=2\pi, -sqrt{1-\rho^2}<=z<=sqrt{1-\rho^2} }$
Ma anche così l'integrale mi diventa orribile e non riesco a risolverlo.
Suggerimenti?
Risposte
Forse dovrebbe essere in coordinate cilindriche:
$ 2\piint_(0)^(1) \rhod\rho int_(-sqrt(1-\rho^2))^(sqrt(1-\rho^2))e^zdz=2pi int_(0)^(1)rho (e^sqrt(1-\rho^2)-e^-sqrt(1-\rho^2))drho $
Ora fai la sostituzione $ t=sqrt(1-rho^2) $ valida per $ 0<=t<1 $ e $ 0
$ 2piint_(1)^(0)-t(e^t-e^-t)sqrt(1-t^2)/sqrt(1-t^2)dt $
Tecnicamente devi prolungare con continuità in $ 1 $ ma credo sia uguale se semplifichi e poi vai avanti a risolvere.
$ 2\piint_(0)^(1) \rhod\rho int_(-sqrt(1-\rho^2))^(sqrt(1-\rho^2))e^zdz=2pi int_(0)^(1)rho (e^sqrt(1-\rho^2)-e^-sqrt(1-\rho^2))drho $
Ora fai la sostituzione $ t=sqrt(1-rho^2) $ valida per $ 0<=t<1 $ e $ 0
$ 2piint_(1)^(0)-t(e^t-e^-t)sqrt(1-t^2)/sqrt(1-t^2)dt $
Tecnicamente devi prolungare con continuità in $ 1 $ ma credo sia uguale se semplifichi e poi vai avanti a risolvere.
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