Calcolo di un integrale superficiale

[RoboCroppo]

Ciao, riporto il testo dell'esercizio:

Sia $ Sigma $ la semisfera di centro l'origine e raggio 2 con $ z>=0 $. Calcolare l'integrale superficiale

$ int_(Sigma )(y+z)dsigma $

Il mio tentativo:
Sapendo che $ int_(Sigma )fdsigma=intint_(D)f(r(u,v))||r_u^^r_v|| $ ho impostato l'integrale seguente:

$ int_(0)^(2\pi)d theta int_(0)^2 (rhosintheta+sqrt(4-rho^2))rho drho = 16/3 pi$

Poi volevo sommare l'area di base: $ 16/3 pi+pir^2=28/3 pi $

Il risultato dovrebbe essere $ 8 pi $.

Grazie in anticipo!

[spugna2]

Premetto che è da parecchio che non calcolo integrali del genere, quindi non garantisco nulla...

Per prima cosa puoi osservare che il dominio ha una simmetria che fa cambiare segno a $y $, quindi l'integrale di $y $ è $0$ e basta calcolare quello di $z $.

Detto questo, se ho capito bene hai parametrizzato la sfera con $v=(rho cos theta, rho sin theta, sqrt (4-rho^2))$, da cui dovrebbe seguire:

$v_rho=(cos theta, sin theta, (-rho)/sqrt (4-rho^2)) $
$v_theta=(-rho sin theta, rho cos theta, 0)$
$||v_rho wedge v_theta||=||((rho^2 cos theta)/sqrt (4-rho^2),(rho^2 sin theta)/sqrt (4-rho^2),rho)||=sqrt(rho^4/(4-rho^2)+rho^2)=(2rho)/sqrt (4-rho^2)$

e infine

$int_Sigma z d sigma=int_((0,2) times (0,2pi)) 2rho d rho d theta=8pi$.

[RoboCroppo]

Grazie mille, mi hai tolto un grande dubbio.
Veramente grazie.