Calcolo di un integrale indefinito
$\int (\log x )^2 \text{d} x $
Sulle dispense c'è un piccolo suggerimento che è il seguente:
Integriamo per parti $\int (\log x )^2 \text{d} x = \int x(\log x)^2 \text{d} x - \int...$
Cosa significa? che tipo di ragionamento è opportuno fare? Non si potrebbe considerare l'integrale di partenza come $\int \log x \log x \ text{d} x$ ? ma poi come trovare la primitiva di $\log x$ ? non sono un esperto!
Grazie
Sulle dispense c'è un piccolo suggerimento che è il seguente:
Integriamo per parti $\int (\log x )^2 \text{d} x = \int x(\log x)^2 \text{d} x - \int...$
Cosa significa? che tipo di ragionamento è opportuno fare? Non si potrebbe considerare l'integrale di partenza come $\int \log x \log x \ text{d} x$ ? ma poi come trovare la primitiva di $\log x$ ? non sono un esperto!
Grazie
Risposte
Il logaritmo è sempre l'ultima funzione da usare come fattore differenziale in un'integrazione per parti.
L'idea è quella di scrivere:
\[
\int \ln^2 x\ \text{d} x =\int \ln^2 x\ 1\ \text{d} x
\]
ed integrare per parti con fattore differenziale \(1\text{d} x\).
L'idea è quella di scrivere:
\[
\int \ln^2 x\ \text{d} x =\int \ln^2 x\ 1\ \text{d} x
\]
ed integrare per parti con fattore differenziale \(1\text{d} x\).
Esatto non ci avevo pensato! 
Grazie
Grazie
Quindi posso dire che:
$int (\log x)^2 \text{d} x = x \log^2x - 2 \int \log x \text {d} x $
Dove $\int \log x \text {d} x$ con lo stesso metodo che mi hai consigliato è $x \log x - x $
Ricapitolando il mio integrale di partenza dovrebbe essere uguale a
$x \log^2 x - 2(x \log x - x) + c$ ?
$int (\log x)^2 \text{d} x = x \log^2x - 2 \int \log x \text {d} x $
Dove $\int \log x \text {d} x$ con lo stesso metodo che mi hai consigliato è $x \log x - x $
Ricapitolando il mio integrale di partenza dovrebbe essere uguale a
$x \log^2 x - 2(x \log x - x) + c$ ?
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