Calcolo di un integrale definito
Salve a tutti...
...sto diventando matto per cercare di risolvere questo esercizio:
$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(2^{x}+1)(2^{x}+3})dx$
Il punto è che se provo un cambio di variabile $2^x=t$, mi trovo a dover fare i conti con il differenziale in $\log_2(t)$ e non so come derivare il logaritmo in base 2...
ho provato anche a trasformare $2^x = e^{x \cdot \log 2}$ lanciandomi in un'improbabile integrazione per parti ma non ne esco fuori...
..lumi?
Grazie mille!
...sto diventando matto per cercare di risolvere questo esercizio:
$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(2^{x}+1)(2^{x}+3})dx$
Il punto è che se provo un cambio di variabile $2^x=t$, mi trovo a dover fare i conti con il differenziale in $\log_2(t)$ e non so come derivare il logaritmo in base 2...
ho provato anche a trasformare $2^x = e^{x \cdot \log 2}$ lanciandomi in un'improbabile integrazione per parti ma non ne esco fuori...
..lumi?
Grazie mille!
Risposte
Ma... sei sicuro di dover calcolare la primitiva di quella funzione???
Visto che si tratta di un integrale improprio, magari ti basta stabilire il suo carattere, senza necessariamente dire quanto vale esattamente...
In tal caso, si ha $1/((2^x+1)(2^x+3)) \sim 1/2^(2x)$ e quindi converge per il criterio del confronto...
Visto che si tratta di un integrale improprio, magari ti basta stabilire il suo carattere, senza necessariamente dire quanto vale esattamente...
In tal caso, si ha $1/((2^x+1)(2^x+3)) \sim 1/2^(2x)$ e quindi converge per il criterio del confronto...
"DavideV":
Il punto è che se provo un cambio di variabile $2^x=t$, mi trovo a dover fare i conti con il differenziale in $\log_2(t)$ e non so come derivare il logaritmo in base 2...
Se il problema è solo questo basta ricordarsi che $log_2x=logx/(log2)$. Di conseguenza la derivata di $log_2$ è $1/log2*1/x$.
@ Maurer:
si, l'esercizio chiede proprio di calcolarlo.
@ dissonance:
grazie mille... non ci avevo proprio pensato!
si, l'esercizio chiede proprio di calcolarlo.
@ dissonance:
grazie mille... non ci avevo proprio pensato!
@DavideV: Per semplificarti la vita ti consiglierei di lasciare perdere esponenziali e logaritmi in basi diverse da $e$.
$e^x, log\ x$ sono la funzione esponenziale e il logaritmo. Ogni altro aggeggio si riconduce a questi, del tipo:
$2^x$ non è altro che $e^(xlog\ 2)$;
$log_2\ x$ non è altro che $(log\ x)/(log\ 2)$.
Almeno, io preferisco ragionare in questi termini: così è sufficiente tenere a mente due sole funzioni ($e^x, log\ x$).
$e^x, log\ x$ sono la funzione esponenziale e il logaritmo. Ogni altro aggeggio si riconduce a questi, del tipo:
$2^x$ non è altro che $e^(xlog\ 2)$;
$log_2\ x$ non è altro che $(log\ x)/(log\ 2)$.
Almeno, io preferisco ragionare in questi termini: così è sufficiente tenere a mente due sole funzioni ($e^x, log\ x$).
Altra cosa: tempo fa mi preparai uno specchietto di sostituzioni "standard", lo posto qui ...
La $R$ si riferisce ad una funzione razionale. Ad esempio, nel primo caso parliamo di una funzione razionale di una variabile, ovvero una $R(x)=[P(x)]/[Q(x)]$ dove $P, Q$ sono polinomi. Proprio il caso di questo esercizio - se non fosse che non c'è $e^x$ ma $2^x$. Ma in fondo, cambia davvero qualcosa? Ci si riconduce al caso $e^x$ in maniera immediata, con una sostituzione preliminare (assolutamente indolore), ad esempio. Oppure si ragiona direttamente su $2^x$, che poi è precisamente la stessa cosa solo che più scomodo perché tocca portarsi appresso un $log\ 2$.
Nota: negli altri casi le funzioni razionali possono avere più variabili. Faccio un esempio su tutti: quando c'è scritto $R(sinx, cosx)$ si intende:
una funzione razionale $R=R(t,s)$ di due variabili $t,s$, ovvero un rapporto $[P(t,s)]/[Q(t,s)]$ di polinomi di due variabili, con la valutazione $t=sinx, s=cosx$. Esempio: $R(t,s)=(1+ts)/(1+s)$, $R(sinx, cosx)=(1+sinxcosx)/(1+sinx)$.
La $R$ si riferisce ad una funzione razionale. Ad esempio, nel primo caso parliamo di una funzione razionale di una variabile, ovvero una $R(x)=[P(x)]/[Q(x)]$ dove $P, Q$ sono polinomi. Proprio il caso di questo esercizio - se non fosse che non c'è $e^x$ ma $2^x$. Ma in fondo, cambia davvero qualcosa? Ci si riconduce al caso $e^x$ in maniera immediata, con una sostituzione preliminare (assolutamente indolore), ad esempio. Oppure si ragiona direttamente su $2^x$, che poi è precisamente la stessa cosa solo che più scomodo perché tocca portarsi appresso un $log\ 2$.
Nota: negli altri casi le funzioni razionali possono avere più variabili. Faccio un esempio su tutti: quando c'è scritto $R(sinx, cosx)$ si intende:
una funzione razionale $R=R(t,s)$ di due variabili $t,s$, ovvero un rapporto $[P(t,s)]/[Q(t,s)]$ di polinomi di due variabili, con la valutazione $t=sinx, s=cosx$. Esempio: $R(t,s)=(1+ts)/(1+s)$, $R(sinx, cosx)=(1+sinxcosx)/(1+sinx)$.
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