Calcolo di un integrale con metodo dei residui
Ciao ragazzi, complimenti per il forum, vi ho scoperto da poco, da oggi cercherò di dare il mio contributo!
Vi propongo un problema che mi sta dando qualche noia. Sto preparando l'esame di metodi matematici della fisica, tra gli esercizi mi sono imbattuto in questo integrale:
$\int_{-\infty}^\infty \frac{z^2}{(z+z_1)(z-z_1)(z+z_2)(z-z_2)(z+z_3)(z-z_3)} dz$
se ho capito bene si risolve chiudendo il dominio di integrazione con una semicirconferenza di raggio infinito e sommando 6 residui (tanti sono i poli).
Sono tutti poli semplici, quindi semplicemente $Res(z_n) = \lim_{z\rightarrow z_0} (z-z_n)f(z)$.
Il problema è che il risultato di $\oint_\gamma f(z)dz = 2\pi i \sum_n Res(z_n)$ è zero.
Forse questo integrale non si può risolvere in questo modo? Dovrei usare la formula integrale di Cauchy? Purtroppo il libro che ci ha consigliato il professore (il Cicogna) è davvero incomprensibile, stiamo avendo tutti serie difficoltà. Sapete consigliarmi un libro migliore?
Vi ringrazio.
Vi propongo un problema che mi sta dando qualche noia. Sto preparando l'esame di metodi matematici della fisica, tra gli esercizi mi sono imbattuto in questo integrale:
$\int_{-\infty}^\infty \frac{z^2}{(z+z_1)(z-z_1)(z+z_2)(z-z_2)(z+z_3)(z-z_3)} dz$
se ho capito bene si risolve chiudendo il dominio di integrazione con una semicirconferenza di raggio infinito e sommando 6 residui (tanti sono i poli).
Sono tutti poli semplici, quindi semplicemente $Res(z_n) = \lim_{z\rightarrow z_0} (z-z_n)f(z)$.
Il problema è che il risultato di $\oint_\gamma f(z)dz = 2\pi i \sum_n Res(z_n)$ è zero.
Forse questo integrale non si può risolvere in questo modo? Dovrei usare la formula integrale di Cauchy? Purtroppo il libro che ci ha consigliato il professore (il Cicogna) è davvero incomprensibile, stiamo avendo tutti serie difficoltà. Sapete consigliarmi un libro migliore?
Vi ringrazio.
Risposte
Come hai giustamente detto, il Lemma del cerchio grande di Jordan impone la costruzione di una semicirconferenza.
Di conseguenza, nel calcolo dei residui, dovrai considerare o il semipiano $Im>0$ o il semipiano $Im<0$ per poter fare l'integrazione.
Per come è costruito il denominatore, se i poli $z_i, i=1,2,3$ si trovano nel semipiano con parte immaginaria positiva, i poli $-z_i, i=1,2,3$ sono necessariamente nel semipiano negativo. In definitiva, ti basta considerare solo poli positivi, ottenendo:
o in alternativa considerando solo i poli negativi, ottenendo
Di conseguenza, nel calcolo dei residui, dovrai considerare o il semipiano $Im>0$ o il semipiano $Im<0$ per poter fare l'integrazione.
Per come è costruito il denominatore, se i poli $z_i, i=1,2,3$ si trovano nel semipiano con parte immaginaria positiva, i poli $-z_i, i=1,2,3$ sono necessariamente nel semipiano negativo. In definitiva, ti basta considerare solo poli positivi, ottenendo:
$\oint_{\gamma}f(z)dz=2\pii\sum_{i=1}^3Res[f(z),z_i]$,
o in alternativa considerando solo i poli negativi, ottenendo
$\oint_{\gamma}f(z)dz=-2\pii\sum_{i=1}^3Res[f(z),-z_i]$.
Salve, chiedo scusa per l'intromissione, sto studiando anche io la risoluzione di questo tipo di integrali e non ho capito una cosa: come faccio a scegliere su quale semipiano, se $Im>0$ oppure $Im<0$ , devo costruire la circonferenza?
qualcuno mi può aiutare?..
Dipende. Per funzioni razionali come quella dell'esercizio qui posto è indifferente.
Considera invece una funzione del tipo $(e^(iz))/x^2+1$.
In questo caso devi integrare nel semipiano superiore perchè se consideri il numeratore $e^(i(x+iy)) = e^(ix-y)$
A parole semplici, se integri questa funzione nel semipiano superiore vedi che $y-> +infty$ e quindi $|e^(ix-y)| ->0$
Se tu integrassi nel semipiano inferiore invece $y-> -infty$ quindi $|e^(ix-y)| -> + infty$ e quindi il contributo dell'integrale sulla semicirconferenza è ben diverso da zero.
Considera invece una funzione del tipo $(e^(iz))/x^2+1$.
In questo caso devi integrare nel semipiano superiore perchè se consideri il numeratore $e^(i(x+iy)) = e^(ix-y)$
A parole semplici, se integri questa funzione nel semipiano superiore vedi che $y-> +infty$ e quindi $|e^(ix-y)| ->0$
Se tu integrassi nel semipiano inferiore invece $y-> -infty$ quindi $|e^(ix-y)| -> + infty$ e quindi il contributo dell'integrale sulla semicirconferenza è ben diverso da zero.
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