Calcolo di un integrale
Ringrazio chiunque riesca a risolvere questo integrale:
$ int_(0)^((p.greco)/4) 3 tanx / (1+(cosx)^2) dx $
Io ho cercato si risolverlo così:
$ int_()^() (3 sinx) / (cosx(1+(cosx)^2)) dx $
$ int_()^() (3 sinx) / (cosx(2-(sinx)^2)) dx $
ho sostituito : sinx =t
$ int_()^() (3 t * cosx) / (cosx(2-(t)^2)) dx $
$ int_()^() (3 t) / ((2-(t)^2)) dx $
$ -3/2 int_()^() (-2t) / ((2-(t)^2)) dx $
e la soluzione mi risulta:
$ -3/2 log |2-t^2| $
e valutando gli estremi di integrazioni mi risulta:
$ -3/2 log (3/2)+3/2 log (2) $
Ma invece dovrebbe risultare 3/2 log (3/2)
Dove sbaglio ? Ringrazio chiunque mi dia una mano, ciao
$ int_(0)^((p.greco)/4) 3 tanx / (1+(cosx)^2) dx $
Io ho cercato si risolverlo così:
$ int_()^() (3 sinx) / (cosx(1+(cosx)^2)) dx $
$ int_()^() (3 sinx) / (cosx(2-(sinx)^2)) dx $
ho sostituito : sinx =t
$ int_()^() (3 t * cosx) / (cosx(2-(t)^2)) dx $
$ int_()^() (3 t) / ((2-(t)^2)) dx $
$ -3/2 int_()^() (-2t) / ((2-(t)^2)) dx $
e la soluzione mi risulta:
$ -3/2 log |2-t^2| $
e valutando gli estremi di integrazioni mi risulta:
$ -3/2 log (3/2)+3/2 log (2) $
Ma invece dovrebbe risultare 3/2 log (3/2)
Dove sbaglio ? Ringrazio chiunque mi dia una mano, ciao
Risposte
Incapsula le formule tra i simboli di dollaro. E' difficile da leggere, così...
ora si dovrebbe leggere
Hai notato che il "verso" di integrazione è al contrario? Cioè $pi/4 > 0$ e tu hai $int_(pi/4)^0 = - int_(0)^(pi/4)$
"Snoopyman":
$ int_()^() (3 t * cosx) / (cosx(2-(t)^2)) dx $
Cos'hai fatto qui?
Praticamente ho fatto una sostituzione:
sinx =t
cosx dx = dt
....
Forse ho capito dove ho sbagliato, ho sostituito cecamente cosx dx, perchè ho visto che si sarebbe semplificato, ma invece avrei dovuto sostituite dt/cosx
E quindi la sostituzione non va bene, ma allora quale era quella giusta?
sinx =t
cosx dx = dt
....
Forse ho capito dove ho sbagliato, ho sostituito cecamente cosx dx, perchè ho visto che si sarebbe semplificato, ma invece avrei dovuto sostituite dt/cosx
E quindi la sostituzione non va bene, ma allora quale era quella giusta?
Ho appena notato di aver sbagliato a scrivere nella formula gli estremi di integrazione ora correggo.....
Io ti consiglio la sostituzione $t = - cos(x)$. Infatti $dt = sin(x) dx$ e quindi l'integrale assume questa forma:
$int_(-1)^(sqrt(2)/2) 3/(t ( t^2 + 1) ) dt$
$int_(-1)^(sqrt(2)/2) 3/(t ( t^2 + 1) ) dt$
Per quanto riguarda la sostituzione ho provato cosx =t oppure tanx=t ma non funzionano, forse andrebbe bene tan(x/2) =t ? Il problema è che non so come scrivere poi l'integrale con questa sostituzione
"Seneca":
Io ti consiglio la sostituzione $t = - cos(x)$. Infatti $dt = sin(x) dx$ e quindi l'integrale assume questa forma:
$int_(-1)^(sqrt(2)/2) 3/(t ( t^2 + 1) ) dt$
ora provo a calcolarlo .....
"Snoopyman":
Per quanto riguarda la sostituzione ho provato cosx =t oppure tanx=t ma non funzionano, forse andrebbe bene tan(x/2) =t ? Il problema è che non so come scrivere poi l'integrale con questa sostituzione
Ho scritto nel post precedente la sostituzione conveniente. Ottieni una razionale fratta che si integra banalmente.
Dovrebbe essere:
$ int_()^() 3/t dt - int_()^() 3t/(1+t^2) dt $
$ 3 log t -3/2log |1+t^2| $
quindi con gli estremi di integrazione:
$ 3 log (1/sqrt(2)) -3/2log (1+1/2)-(0+3/2log 2) $
e da qui il risultato facendo i conti
$ int_()^() 3/t dt - int_()^() 3t/(1+t^2) dt $
$ 3 log t -3/2log |1+t^2| $
quindi con gli estremi di integrazione:
$ 3 log (1/sqrt(2)) -3/2log (1+1/2)-(0+3/2log 2) $
e da qui il risultato facendo i conti
Hai sbagliato a integrare il secondo membro, e hai dimenticato una $t$ a denominatore, sempre nel secondo membro. Non puoi integrare $1/(1+t^2)$ come $log|1+t^2|$ senza avere la derivata di $1+t^2$ al numeratore!
Mi correggo, non avevo visto la t, ora manca solo un 2!
Mi correggo, non avevo visto la t, ora manca solo un 2!
lo so stò correggendo .....è che non sono pratico a scrivere le formule su carta l' ho scritto giusto qui mancano i pezzi
L'importante è che tu lo abbia scritto giusto sul foglio! 
Ok, vi ringrazio, senza il vostro aiuto non avrei capito rapidamente quale sarebbe stata la sostituzione giusta!
"Snoopyman":
Ok, vi ringrazio, senza il vostro aiuto non avrei capito rapidamente quale sarebbe stata la sostituzione giusta!
L'importante è che tu abbia capito cosa c'è di sbagliato nella sostituzione che hai fatto tu...
Si il problema era che mi ritrovavo all'interno dell'integrale la variabile t e anche il coseno di x
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