Calcolo di un integrale
Mi trovo completamente bloccata da questo integrale.
$\int_0^2 \frac{x^2+x}{x^2-2x+17}$
Ho provato a farlo per parti, ma non sembra la strada giusta, richiede ogni volta di integrare nuovamente per parti.
$\int_0^2 \frac{x^2+x}{x^2-2x+17}$
Ho provato a farlo per parti, ma non sembra la strada giusta, richiede ogni volta di integrare nuovamente per parti.
Risposte
Intanto cosa buona e giusta è la divisione tra i due polinomi.
Ma la divisione del numeratore con il denominatore in questo caso non si può fare. Perlomeno io non la so fare. Se fossero invertiti numeratore e denominatore... Ma così...
Stavo sbagliando continuamente a fare la divisione. Ora mi viene, grazie!
Figurati, se hai bisogno.
Posto il mio svolgimento comunque, ho qualche dubbio sulla correttezza del mio svolgimento.
Calcoliamo l'integrale indefinito.
Innanzitutto grazie alla divisione euclidea posso scrivere $\frac{x^2+x}{x^2-2x+17} $ come $1+ \frac{3x-17}{x^2-2x+17}$.
Poichè $\int 1 dx$ è $x+c$ resta solo da integrare anche il secondo addendo e avremo finito.
Osservo che la funzione al denominatore ha delta negativo, dunque non si può sperare di fattorizzarlo. L'obiettivo sarà quindi quello di trasformare il numeratore nella derivata del denominatore più un eventuale numero.
La derivata del denominatore è $2x-2$, ora dopo alcune manipolazioni ottengo il numeratore che desidero: $\frac{3}{2} (2x -2 - \frac{11}{3}) $.
Quindi $\frac{3}{2} \int \frac{2x-2}{x^2 -2x +17} - \frac{11}{2} \int \frac{1}{ x^2-2x+17}$.
Ora il primo integrale è semplice da calcolare. Rimane il secondo che richiede ancora un po' di lavoro. Voglio trasformare il denominatore in modo da ricondurlo alla forma $ f(x)^2 - k^2$. Quindi vedo il denominatore come $ (x-1)^2 + 4^2$, poichè la derivata di $x-1$ è 1, ormai siamo in grado di calcolare anche questo integrale.
Dunque l'integrale indefinito totale sarà:
$ x - \frac{3}{2} \log |x^2 - 2x +17 | -\frac{11}{8} arctg \frac{x-1]{4} +c $
Dopo aver calcolato l'integrale indefinito, calcolare l'integrale definito dovrebbe essere semplice, basta calcolare $F(2) - F(0)$ dove $F$ è una primitiva.
Calcoliamo l'integrale indefinito.
Innanzitutto grazie alla divisione euclidea posso scrivere $\frac{x^2+x}{x^2-2x+17} $ come $1+ \frac{3x-17}{x^2-2x+17}$.
Poichè $\int 1 dx$ è $x+c$ resta solo da integrare anche il secondo addendo e avremo finito.
Osservo che la funzione al denominatore ha delta negativo, dunque non si può sperare di fattorizzarlo. L'obiettivo sarà quindi quello di trasformare il numeratore nella derivata del denominatore più un eventuale numero.
La derivata del denominatore è $2x-2$, ora dopo alcune manipolazioni ottengo il numeratore che desidero: $\frac{3}{2} (2x -2 - \frac{11}{3}) $.
Quindi $\frac{3}{2} \int \frac{2x-2}{x^2 -2x +17} - \frac{11}{2} \int \frac{1}{ x^2-2x+17}$.
Ora il primo integrale è semplice da calcolare. Rimane il secondo che richiede ancora un po' di lavoro. Voglio trasformare il denominatore in modo da ricondurlo alla forma $ f(x)^2 - k^2$. Quindi vedo il denominatore come $ (x-1)^2 + 4^2$, poichè la derivata di $x-1$ è 1, ormai siamo in grado di calcolare anche questo integrale.
Dunque l'integrale indefinito totale sarà:
$ x - \frac{3}{2} \log |x^2 - 2x +17 | -\frac{11}{8} arctg \frac{x-1]{4} +c $
Dopo aver calcolato l'integrale indefinito, calcolare l'integrale definito dovrebbe essere semplice, basta calcolare $F(2) - F(0)$ dove $F$ è una primitiva.
C'è un'incongruenza con le costanti. Il risultato dovrebbe venire:
$x+3/2ln(x^2-2x+17)-7/2arctan((x-1)/4)+c$
ho tolto il valore assoluto perché tanto la parabola all'interno è sempre positiva.
Mentre il valore dell'integrale sarà: $2-7arctan(1/4)$
$x+3/2ln(x^2-2x+17)-7/2arctan((x-1)/4)+c$
ho tolto il valore assoluto perché tanto la parabola all'interno è sempre positiva.
Mentre il valore dell'integrale sarà: $2-7arctan(1/4)$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo