Calcolo di un flusso ..esercizi quasi simili vorrei capire la differenza..
Ciao a tutti, questi sono due testi di 2 esercizi sul calcolo di un flusso, ma vorrei capire che differenzia si ha tra i 2. Il procedimento lo so fare, però vorrei capire la differenza così se mi dovesse capitare all'esame so che strada prendere.
Ripeto NON mi interessa sapere come si fa, il come si fa lo so già, vorrei solo capire la differenza tra i 2.
Esercizio 1
Calcolare il flusso del campo vettoriale $ F(x,y,z)=(x^3+2x,yx^2,(1+y^2)/(1+x^2)) $ attraverso la superficie
del cilindro di equazione $ x^2+y^2=1 $ delimitato dai piani $z=0$ e $z=1$
Esercizio 2
Calcolare $ \int_S F\cdot n_e d\sigma $
dove S è la superficie laterale del cilindro $ T=\{(x,y,z)\in RR^3| x^2+z^2\leq 1, y\in[1,2]\} $
orientata nel verso della normale esterna $n_e$ a T.
$ F(x,y,z)=(x+x^5/5+z^2,-x^4y-z^2,-2z) $
Allora nel Esercizio 1 ho eseguito il teorema della divergenza su quell'insieme e mi sono calcolato l'integrale triplo
Per l' Esercizio 2 invece stavo pensando di fare come l'esercizio precedente, ma ho sbagliato completamente, nell'esercizio 2 l'ho fatto tramite sempre il teorema della divergenza ma ho fatto questa uguaglianza
$ \int\int\int \text{divF}dxdydz=\int_S F\cdot n_e d\sigma+\int_(S1) F\cdot n_e d\sigma+\int_(S2) F\cdot n_e d\sigma $
ove con S1 ed S2 sono le superfici parametrizzate..
ORA VORREI CAPIRE..
Qual è la differenza tra i 2 esercizi? Non chiedono mica la stessa cosa?
Ripeto NON mi interessa sapere come si fa, il come si fa lo so già, vorrei solo capire la differenza tra i 2.
Esercizio 1
Calcolare il flusso del campo vettoriale $ F(x,y,z)=(x^3+2x,yx^2,(1+y^2)/(1+x^2)) $ attraverso la superficie
del cilindro di equazione $ x^2+y^2=1 $ delimitato dai piani $z=0$ e $z=1$
Esercizio 2
Calcolare $ \int_S F\cdot n_e d\sigma $
dove S è la superficie laterale del cilindro $ T=\{(x,y,z)\in RR^3| x^2+z^2\leq 1, y\in[1,2]\} $
orientata nel verso della normale esterna $n_e$ a T.
$ F(x,y,z)=(x+x^5/5+z^2,-x^4y-z^2,-2z) $
Allora nel Esercizio 1 ho eseguito il teorema della divergenza su quell'insieme e mi sono calcolato l'integrale triplo
Per l' Esercizio 2 invece stavo pensando di fare come l'esercizio precedente, ma ho sbagliato completamente, nell'esercizio 2 l'ho fatto tramite sempre il teorema della divergenza ma ho fatto questa uguaglianza
$ \int\int\int \text{divF}dxdydz=\int_S F\cdot n_e d\sigma+\int_(S1) F\cdot n_e d\sigma+\int_(S2) F\cdot n_e d\sigma $
ove con S1 ed S2 sono le superfici parametrizzate..
ORA VORREI CAPIRE..
Qual è la differenza tra i 2 esercizi? Non chiedono mica la stessa cosa?
Risposte
Il flusso di un campo vettoriale attraverso una superfice non è altro che un integrale superficiale, quindi si gli esercizi chiedono la stessa cosa.
Questo lo puoi dedurre dalla definizione di flusso di un campo vettoriale attraverso una superfice:
\(\displaystyle \Phi_S = \int_{S} (F,\nu) d\sigma \)
dove:
\(\displaystyle \Phi_S \) è il flusso del campo attraverso \(\displaystyle S \) orientata nella direzione \(\displaystyle \nu \)
\(\displaystyle F=(F_1, F_2, F_3) \) è il campo vettoriale
\(\displaystyle (F,\nu) \) è il prodotto scalare tra il campo vettoriale e il versore normale alla superfice.
Come ben saprai l'integrale sopra si riduce a un integrale doppio, infatti dalla definizione di integrale superficiale si ha che:
\(\displaystyle \int_{S} (F,\nu) d\sigma=\iint_{D}F_1A(t,\theta) + F_2B(t,\theta) +F_3C(t,\theta) \, dt\,d\theta \)
dove A,B,C sono i determinanti dei minori di rango 2 della matrice jacobiana.
D'altra parte grazie ad un importante risultato noto come il Teorema della divergenza nello spazio si ha anche che:
\(\displaystyle \iiint_{T} div F \ dx\,dy\,dz=\int_{\partial T} (F,\nu) d\sigma \)
dove:
\(\displaystyle div F =\frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} +\frac{\partial F_3}{\partial z} \)
\(\displaystyle \partial T \) è la frontiera di \(\displaystyle T \)
Ora, per calcolare flussi di campi attraverso alcune superfici si può applicare la definizione stessa posta sopra e risolvere un integrale doppio, d'altra parte in alcuni casi si può utilizzare questo importante risultato calcolando l'integrale triplo della divergenza di \(\displaystyle F \), il che potrebbe sembrare più complesso ma in realtà talvolta può semplificare la vita.
In definitiva: gli esercizi sono gli stessi, solo che a volte conviene usare una formula anzicchè l'altra
Prova a postare i conti che hai fatto, così vediamo se c'è una strada più veloce
Questo lo puoi dedurre dalla definizione di flusso di un campo vettoriale attraverso una superfice:
\(\displaystyle \Phi_S = \int_{S} (F,\nu) d\sigma \)
dove:
\(\displaystyle \Phi_S \) è il flusso del campo attraverso \(\displaystyle S \) orientata nella direzione \(\displaystyle \nu \)
\(\displaystyle F=(F_1, F_2, F_3) \) è il campo vettoriale
\(\displaystyle (F,\nu) \) è il prodotto scalare tra il campo vettoriale e il versore normale alla superfice.
Come ben saprai l'integrale sopra si riduce a un integrale doppio, infatti dalla definizione di integrale superficiale si ha che:
\(\displaystyle \int_{S} (F,\nu) d\sigma=\iint_{D}F_1A(t,\theta) + F_2B(t,\theta) +F_3C(t,\theta) \, dt\,d\theta \)
dove A,B,C sono i determinanti dei minori di rango 2 della matrice jacobiana.
D'altra parte grazie ad un importante risultato noto come il Teorema della divergenza nello spazio si ha anche che:
\(\displaystyle \iiint_{T} div F \ dx\,dy\,dz=\int_{\partial T} (F,\nu) d\sigma \)
dove:
\(\displaystyle div F =\frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} +\frac{\partial F_3}{\partial z} \)
\(\displaystyle \partial T \) è la frontiera di \(\displaystyle T \)
Ora, per calcolare flussi di campi attraverso alcune superfici si può applicare la definizione stessa posta sopra e risolvere un integrale doppio, d'altra parte in alcuni casi si può utilizzare questo importante risultato calcolando l'integrale triplo della divergenza di \(\displaystyle F \), il che potrebbe sembrare più complesso ma in realtà talvolta può semplificare la vita.
In definitiva: gli esercizi sono gli stessi, solo che a volte conviene usare una formula anzicchè l'altra
Prova a postare i conti che hai fatto, così vediamo se c'è una strada più veloce
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo