Calcolo di un flusso del campo vettoriale.. alcuni dubbi..
Ciao a tutti, mi sono ritrovato questo esercizio, ma arrivo ad un punto a cui non so più andare avanti. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.
Sia \( \Sigma \) la superificie ottenuta ruotando attorno all'asse $z$ la circonferenza sul piano $yz$ con
centro $(0,2,0)^T$ e raggio $1$.
Si calcoli il flusso del campo vettoriale
\( F(x,y,z)=\sqrt{y^2+z^2}\underline{i}\arctan(x+z)\underline{j}+\frac{(z+1)^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\underline{k} \)
uscente da $\Sigma$
ho provato a fare così
(se voi avete altri suggerimenti scriveteli pure, tutti i consigli sono ben accetti)
allora ho applicato prima di tutto il teorema della divergenza
\( div F=\partial_x F_1+\partial_y F_2+\partial_z F_3=0+0+\frac{2(z+1)}{\sqrt{x^2+y^2}} \)
quindi \( div F=\frac{2(z+1)}{\sqrt{x^2+y^2}} \)
ora l'insieme è $ A=\{(y,z)^T| (y-2)^2+z^2\leq 1\} $
ora vorrei applicare il teorema di Guldino, quindi devo ridurmi in un insieme di questa forma
(vedo dai miei appunti)
$ E=\{(x,z)| x\in [a,b], g_1(x)\leq z\leq g_2(x)\} $
che in polari sarebbe $ E'=\{(\rho,\theta, z)| \rho\in [a,b], \theta\in [0,2\pi], g_1(\rho)\leq z\leq g_2(\rho)\} $
Il mio problema è che non riesco ad utilizzarlo.. vorrei utilizzare le coordinate polari classiche..così mi tolgo quella radice nella funzione integranda..
Sono bloccato qui.. qualche idea?...
Se voi lo fareste in modo diverso..scrivetemi solo il suggerimento.. qualsiasi consiglio è ben accetto
si può anche avere questo insieme \( E=\{(x,z)| z\in[a,b], g_1(z)\leq x\leq g_2(z)\} \)
che in coordinate polari si ha
\( E'=\{(\rho,\theta,z)| z\in[a,b], \theta\in[0,2\pi], g_1(z)\leq \rho\leq g_2(z)\} \)
forse è meglio scriverlo così.. certo io devo considerare il piano $(y,z)$
Sia \( \Sigma \) la superificie ottenuta ruotando attorno all'asse $z$ la circonferenza sul piano $yz$ con
centro $(0,2,0)^T$ e raggio $1$.
Si calcoli il flusso del campo vettoriale
\( F(x,y,z)=\sqrt{y^2+z^2}\underline{i}\arctan(x+z)\underline{j}+\frac{(z+1)^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\underline{k} \)
uscente da $\Sigma$
ho provato a fare così
(se voi avete altri suggerimenti scriveteli pure, tutti i consigli sono ben accetti)
allora ho applicato prima di tutto il teorema della divergenza
\( div F=\partial_x F_1+\partial_y F_2+\partial_z F_3=0+0+\frac{2(z+1)}{\sqrt{x^2+y^2}} \)
quindi \( div F=\frac{2(z+1)}{\sqrt{x^2+y^2}} \)
ora l'insieme è $ A=\{(y,z)^T| (y-2)^2+z^2\leq 1\} $
ora vorrei applicare il teorema di Guldino, quindi devo ridurmi in un insieme di questa forma
(vedo dai miei appunti)
$ E=\{(x,z)| x\in [a,b], g_1(x)\leq z\leq g_2(x)\} $
che in polari sarebbe $ E'=\{(\rho,\theta, z)| \rho\in [a,b], \theta\in [0,2\pi], g_1(\rho)\leq z\leq g_2(\rho)\} $
Il mio problema è che non riesco ad utilizzarlo.. vorrei utilizzare le coordinate polari classiche..così mi tolgo quella radice nella funzione integranda..
Sono bloccato qui.. qualche idea?...
Se voi lo fareste in modo diverso..scrivetemi solo il suggerimento.. qualsiasi consiglio è ben accetto
si può anche avere questo insieme \( E=\{(x,z)| z\in[a,b], g_1(z)\leq x\leq g_2(z)\} \)
che in coordinate polari si ha
\( E'=\{(\rho,\theta,z)| z\in[a,b], \theta\in[0,2\pi], g_1(z)\leq \rho\leq g_2(z)\} \)
forse è meglio scriverlo così.. certo io devo considerare il piano $(y,z)$
Risposte
Non so dove porti usare Guldino, quindi vado con un modo diverso, anche se alla fine anche Guldino potrebbe portare a un metodo simile.
Dunque il solido dovrebbe essere un toro di raggio 2, e il raggio della sezione è 1.
Quindi io per spazzolare l'intero volume farei delle sezioni orizzontali, che sono delle corone circolari.
Poi diventa naturale andare in coordinate cilindriche polari, in modo da moltiplicare l'argomento dell'integrale per lo jacobiano $\rho$ e in quel modo ci si libera di quel $1/(\sqrt(x^2+y^2))=1/\rho$.
L'integrale quindi è:
$\int_(-1)^(+1)\ 2\pi\ \int_(2-\sqrt(1-z^2))^(2+\sqrt(1-z^2)) (2(z+1))/(\rho) \rho\ \drho\ \ dz$
che si semplifica in
$\int_(-1)^(+1)\ 2\pi\ \int_(2-\sqrt(1-z^2))^(2+\sqrt(1-z^2)) 2\ \drho\ \ dz$
Nota che anche la $z$ nell'argomento si può eliminare in quanto il toro è simmetrico rispetto all'asse $xy$, e quindi quella $z$ produce dei valori che hanno segno opposto per punti opposti rispetto al piano $xy$ che quindi si elidono.
L'integrale dovrebbe essere risolvibile senza problemi.
Spero che sia tutto corretto.
Ciao
Dunque il solido dovrebbe essere un toro di raggio 2, e il raggio della sezione è 1.
Quindi io per spazzolare l'intero volume farei delle sezioni orizzontali, che sono delle corone circolari.
Poi diventa naturale andare in coordinate cilindriche polari, in modo da moltiplicare l'argomento dell'integrale per lo jacobiano $\rho$ e in quel modo ci si libera di quel $1/(\sqrt(x^2+y^2))=1/\rho$.
L'integrale quindi è:
$\int_(-1)^(+1)\ 2\pi\ \int_(2-\sqrt(1-z^2))^(2+\sqrt(1-z^2)) (2(z+1))/(\rho) \rho\ \drho\ \ dz$
che si semplifica in
$\int_(-1)^(+1)\ 2\pi\ \int_(2-\sqrt(1-z^2))^(2+\sqrt(1-z^2)) 2\ \drho\ \ dz$
Nota che anche la $z$ nell'argomento si può eliminare in quanto il toro è simmetrico rispetto all'asse $xy$, e quindi quella $z$ produce dei valori che hanno segno opposto per punti opposti rispetto al piano $xy$ che quindi si elidono.
L'integrale dovrebbe essere risolvibile senza problemi.
Spero che sia tutto corretto.
Ciao
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