Calcolo di un approssimazione

[giopk]

ragazzi mi potete spiegare come si calcola l'approsimazione di una funzione con taylor e maclaurin?? per esempio:
$ sqrt(10010) ~~ 100 $ con un errore $ e < 1/20 $ , aiutatemi per favoreee...

[gugo82]

[xdom="gugo82"]Innanzitutto, elimina quello "urgente" dal titolo.[/xdom]

Inoltre, abbiamo parlato di questi argomenti più volte in questa stanza, quindi prova a fare una ricerca.

[giopk]

scusate l'"urgente" ma è panico a breve ho l'esame ho appena saputo di qst esercizio...come devo cercare, calcolo dell'errore?

[giopk]

"gugo82":
Inoltre, abbiamo parlato di questi argomenti più volte in questa stanza, quindi prova a fare una ricerca.

non riesco a trovare nulla di simile...tu mi sai aiutare??

[gugo82]

Ok, dai... Ti do uno spunto, che l'esercizio è contaccioso assai e non sono riuscito ancora a trovare il post cui mi riferivo prima.

Hai:
\[
\sqrt{10010}=\sqrt{100^2+10} = 100\ \sqrt{1+\frac{1}{10^3}}\; ;
\]
ora, sai che vale lo sviluppo in serie:
\[
\sqrt{1+x} = 1+\sum_{n=1}^\infty \binom{1/2}{n}\ x^n
\]
per \(|x|<1\); d'altra parte:
\[
\begin{split}
\binom{1/2}{n} &= \frac{\frac{1}{2}\ (1/2 -1)\ (1/2 -2)\cdot (1/2-n+1)}{n!} \\
&= \frac{1}{2^n}\ \frac{1}{n!}\ 1\ (1-2)\ (1-4)\cdot (1-2(n-1))\\
&= \frac{1}{2^n\ n!} \underbrace{(-1)\ (-3)\cdot (-2n+3)}_{\color{red}{n-1 \text{ fattori}}}\\
&= \frac{(-1)^{n-1}}{2^n\ n!}\ 1\ 3\cdot (2n-3)\\
&= \frac{(-1)^{n-1}}{2^n\ n!}\ (2n-3)!!
\end{split}
\]
ove i \(!!\) indicano il fattoriale doppio; quindi:
\[
\sqrt{1+x} = 1+ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}\ (2n-3)!!}{2^n\ n!}\ x^n\; .
\]
Dato che \(x=\frac{1}{10^3}<1\), puoi usare il precedente sviluppo in serie per calcolare \(\sqrt{1+1/10^3}\) e quindi scrivere sicuramente:
\[
\begin{split}
\sqrt{10010} &= 100\ \sqrt{1+\frac{1}{10^3}} \\
&= 100-100\ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\ (2n-3)!!}{2^n\ 10^{3n}\ n!}\\
&= 100 - \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\ (2n-3)!!}{2^n\ 10^{3n-1}\ n!}\; ,
\end{split}
\]
cioè \(\sqrt{10010}=100 -S\), in cui \(S\) è la somma (negativa) della serie a segni alterni che figura all'ultimo membro della precedente.
Quindi l'idea è che basti approssimare \(S\) con una adeguata somma parziale della serie per ottenere una soddisfacente approssimazione di \(\sqrt{10010}=100 -S\).

La serie all'ultimo membro è a segni alterni, quindi troncandola all'indice \(N\) si commette un errore al più grande quanto il valore assoluto dell'ultimo addendo considerato, cioè:
\[
\left| S-\sum_{n=1}^N \frac{(-1)^n\ (2n-3)!!}{2^n\ 10^{3n-2} n!} \right|\leq \frac{(2N-3)!!}{2^N\ 10^{3N-2} N!}
\]
quindi abbiamo anche:
\[
\begin{split}
\left| \sqrt{10010} - 100+\sum_{n=1}^N \frac{(-1)^n\ (2n-3)!!}{2^n\ 10^{3n-2}\ n!}\right| &= \left| 100-S - 100+\sum_{n=1}^N \frac{(-1)^n\ (2n-3)!!}{2^n\ 10^{3n-2}\ n!}\right|\\
&\leq \frac{(2N-3)!!}{2^N\ 10^{3N-2}\ N!}
\end{split}
\]
quindi, per risolvere il problema, basta determinare \(N\geq 1\) tale che:
\[
\frac{(2N-3)!!}{2^N\ 10^{3N-2}\ N!} \]
Con un po' di calcolatrice troviamo:
\[
\begin{split}
N=2 &\to \frac{(2N-3)!!}{2^N\ 10^{3N-2}\ N!} = \frac{1}{8} >e\\
N=3 &\to \frac{(2N-3)!!}{2^N\ 10^{3N-2}\ N!} = \frac{1}{16} >e\\
N=4 &\to \frac{(2N-3)!!}{2^N\ 10^{3N-2}\ N!} = \frac{5}{120} \end{split}
\]
quindi:
\[
\sqrt{10010}\approx 100-\sum_{n=1}^4\frac{(-1)^n\ (2n-3)!!}{2^n\ 10^{3n-2}\ n!}\; .
\]

[xdom="gugo82"]Solo ora mi accorgo che hai "uppato" il thread.
Ciò è contro il regolamento (cfr. 3.4), ergo blocco il thread fino a domani.[/xdom]