Calcolo di superfici laterali

[Benihime1]

ciao a tutti
devo calcolare la porzione di superficie conica $x^2+y^2-z^2=0$
contenuta entro il cilindro $x^2+y^2-2ax<=0$ con $a>0$
so che $x^2+y^2-2ax=0$ è il cilindro di asse parallelo all'asse $z$ passante per $(a,0,0)$ e di raggio $a$
notato questo,credo di saper parametrizzare il cilindro cioè
$text{cilindro}:\{(x=a+rcos(t)),(x=rsin(t)),(z=z):}$ con $r in [0,a]$ e $t in [0,2\pi]$
mentre per il cono sono dubbiosa,l'ho pensata come
$text{cono}:\{(x=rcos(t)),(x=rsin(t)),(z=+-r):}$ con $r in [0,\infty]$ e $t in [0,2\pi]$
però non so poi come procedere
la mia idea era di usare la parametrizzazione del cono,e limitare gli intervalli in cui variano $r$ e $t$ in modo che non escano dal cilindro,non so se mi sono spiegata;
non riesco mettere però in pratica l'idea;
pensavo la seguente cosa
visto che
$text{cilindro}->x^2+y^2<=2ax$
$text{cono}->x^2+y^2=z^2$
devo porre che $z^2<=2ax$
cioè $r^2<=2arcos(t)->r<=2acos(t)->r in [0,2acos(t)]$
inoltre poichè il cilindro vive in $x>0$,pensavo di limitare $t in [-\pi/2,\pi/2]$
che dite?

[ciampax]

Conviene ovviamente parametrizzare il cono, visto che è la superficie di cui vuoi determinare l'area. Puoi porre
$$r(u,v)=(u\cos v,\ u\sin v,\ u)$$
Per determinare le variazioni di $u,v$, usa il fatto che tali variabili devono essere interne al cilindro, pertanto
$$u^2-2au\cos v\le 0$$
Dal momento che $u\ge 0$, tale condizione equivale a dire che $u-2a\cos v\le 0$ e quindi che $0\le u\le 2a\cos v$. Inoltre, dovendo restringere il tutto alla intersezione tra cono e cilindro, per verificare la variazione di $v$ puoi guardare la "figura" dall'alto: prova a disegnare una sezione della figura guardando il comportamento sul piano $xOy$ per capire effettivamente come varia $v$.