Calcolo di primitiva
Salve a tutti, oggi mentre risolvevo un integrale improprio mi sono imbattuto nella seguente primitiva:
$\int 1/((t^2-4))dt$
Svolgendo i passaggi trovo che:
$2\int 1/((t-2)(t+2))dt$
arrivato qua però non so come andare avanti anche se il libro fa questo passaggio:
$1/2\int (1/(t-2) -1/(t+2))dt$
Potete spiegarmi che ha fatto?
$\int 1/((t^2-4))dt$
Svolgendo i passaggi trovo che:
$2\int 1/((t-2)(t+2))dt$
arrivato qua però non so come andare avanti anche se il libro fa questo passaggio:
$1/2\int (1/(t-2) -1/(t+2))dt$
Potete spiegarmi che ha fatto?
Risposte
Devi applicare la tecnica di scomposizione in fratti semplici. La trovi su un qualsiasi libro di teoria, anche su quelli del liceo...
ciao
il passaggio che ha fatto è questo:
partiamo dalla frazione iniziale che hai dentro l'integrale
[tex]\frac{1}{(t-2)(t+2)}[/tex]
e vediamola come il risultato di una somma di due frazioni di cui non conosciamo i numeratori, che quindi per ora chiamiamo $A$ e $B$
[tex]\frac{1}{(t-2)(t+2)} = \frac{A}{(t-2)}+\frac{B}{(t+2)}[/tex]
eseguendo i calcoli abbiamo
[tex]\frac{A}{(t-2)}+\frac{B}{(t+2)} = \frac{A(t+2)+B(t-2)}{(t-2)(t+2)} = \frac{At+2A+Bt-2B}{(t-2)(t+2)} = \frac{(A+B)t+2A-2B}{(t-2)(t+2)}[/tex]
ora confrontiamo la frazione di partenza con l'ultima ottenuta
[tex]\frac{1}{(t-2)(t+2)} = \frac{(A+B)t+2A-2B}{(t-2)(t+2)}[/tex]
la frazione a sinistra dell'uguale vediamola scritta nel seguente modo
[tex]\frac{0\cdot t +1}{(t-2)(t+2)} = \frac{(A+B)t+2A-2B}{(t-2)(t+2)}[/tex]
dato che i denominatori sono identici, perchè siano uguali le frazioni, devono essere uguali i numeratori pertanto
[tex]0\cdot t +1 = (A+B)t+2A-2B[/tex]
se confrontiamo a destra e a sinistra dell'uguale ciò che è moltiplicato per $t$ e ciò che non lo è, possiamo mettere a sistema
$ { (A+B=0 ),(2A-2B=1 ):} $ [tex]\Rightarrow[/tex] $ { (A=-B ),(2A+2A=1 ):} $ [tex]\Rightarrow[/tex] $ { (B=-1/4 ),(A=1/4 ):} $
quindi abbiamo che
[tex]\frac{1}{(t-2)(t+2)} = \frac{A}{(t-2)}+\frac{B}{(t+2)} = \frac{1}{4} \frac{1}{(t-2)}- \frac{1}{4} \frac{1}{(t+2)} = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{(t-2)}- \frac{1}{(t+2)}\right)[/tex]
spero di esserti stato di aiuto
se ti servono ancora chiarimenti chiedi pure
ciao
il passaggio che ha fatto è questo:
partiamo dalla frazione iniziale che hai dentro l'integrale
[tex]\frac{1}{(t-2)(t+2)}[/tex]
e vediamola come il risultato di una somma di due frazioni di cui non conosciamo i numeratori, che quindi per ora chiamiamo $A$ e $B$
[tex]\frac{1}{(t-2)(t+2)} = \frac{A}{(t-2)}+\frac{B}{(t+2)}[/tex]
eseguendo i calcoli abbiamo
[tex]\frac{A}{(t-2)}+\frac{B}{(t+2)} = \frac{A(t+2)+B(t-2)}{(t-2)(t+2)} = \frac{At+2A+Bt-2B}{(t-2)(t+2)} = \frac{(A+B)t+2A-2B}{(t-2)(t+2)}[/tex]
ora confrontiamo la frazione di partenza con l'ultima ottenuta
[tex]\frac{1}{(t-2)(t+2)} = \frac{(A+B)t+2A-2B}{(t-2)(t+2)}[/tex]
la frazione a sinistra dell'uguale vediamola scritta nel seguente modo
[tex]\frac{0\cdot t +1}{(t-2)(t+2)} = \frac{(A+B)t+2A-2B}{(t-2)(t+2)}[/tex]
dato che i denominatori sono identici, perchè siano uguali le frazioni, devono essere uguali i numeratori pertanto
[tex]0\cdot t +1 = (A+B)t+2A-2B[/tex]
se confrontiamo a destra e a sinistra dell'uguale ciò che è moltiplicato per $t$ e ciò che non lo è, possiamo mettere a sistema
$ { (A+B=0 ),(2A-2B=1 ):} $ [tex]\Rightarrow[/tex] $ { (A=-B ),(2A+2A=1 ):} $ [tex]\Rightarrow[/tex] $ { (B=-1/4 ),(A=1/4 ):} $
quindi abbiamo che
[tex]\frac{1}{(t-2)(t+2)} = \frac{A}{(t-2)}+\frac{B}{(t+2)} = \frac{1}{4} \frac{1}{(t-2)}- \frac{1}{4} \frac{1}{(t+2)} = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{(t-2)}- \frac{1}{(t+2)}\right)[/tex]
spero di esserti stato di aiuto
se ti servono ancora chiarimenti chiedi pure
ciao
Chiarissimi come sempre, grazie ancora 
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