Calcolo di massimi e minimi vincolati con funzione trigonometrica

[simoneb11]

Salve a tutti. Vi propongo questo esercizio su cui sto avendo problemi, penso più per lacune mie, il testo recita:

Determinare gli estremi assoluti della funzione $cos(x-y)$ nel dominio $0<=x<=1$, $0<=y<=x^2$

Inizialmente io procederei col calcolare le derivate parziali della f(x,y), che risultano essere:
fx=$-sen(x-y)$
fy=$sen(x-y)$
Il mio problema arriva qui, perché..non so come verificare l'annullarsi del grandiente mi confonde il fatto che il seno sia una funzione trigonometrica e si annulli per $0$, $\Pi$ e tutti i loro multipli di $k\Pi$. Quindi cosa dovrei fare? Imporre $x-y=\Pi$ e risolverla ricavando $x=y+\Pi$? O Come? Anche sul cosa fare dopo nell'esercizio avrei qualche dubbio. Dovrei valutare (una volta appurato ovviamente che i punti che annullano il gradiente rientrino nel dominio dato) l'hessiano? E poi?
Grazie in anticipo, spero di essere stato sufficientemente chiaro..

[quantunquemente]

nessuna retta del tipo $y=x+kpi$ attraversa l'interno del dominio
infatti,per $k=0$,la retta $y=x$ passa per $(0,0)$ e $(1,1)$
per $k=-1$,$yleq0$ in $[0,pi]$

adesso non ti resta che studiare la funzione sulla frontiera del dominio : è li che ci sono gli estremi assoluti

[simoneb11]

"quantunquemente":nessuna retta del tipo $y=x+kpi$ attraversa l'interno del dominio
infatti,per $k=0$,la retta $y=x$ passa per $(0,0)$ e $(1,1)$
per $k=-1$,$yleq0$ in $[0,pi]$

adesso non ti resta che studiare la funzione sulla frontiera del dominio : è li che ci sono gli estremi assoluti

Ciao, non mi è chiaro il tuo ragionamento.
Se io svolgo come hai detto tu, non otterrei:
$x-y=0+k\Pi$ --> $-y=-x+k\Pi$ -->$y=x-k\Pi$?
A questo punto io l'unico ragionamento che riesco a fare per vedere se sono nel mio intervallo è sostituire $x=0$ per cui ottengo $y=-k\Pi$ che credo sia da escludere a prescindere perché il mio dominio ha solo ascisse e ordinate positive;
Sostituendo invece $x=1$ ottengo $y=1-k\Pi$ che dovrebbe valere solo per k=0 perché incrementando k ottengo punti (credo) troppo alti per il dominio. Dopodiché dovrei ragionare così anche imponendo $x-y=\Pi+k\Pi$
Sto dicendo scemenze?

[quantunquemente]

$y=x+kpi$ è l'equazione di una retta e quindi devi valutare se la retta attraversa l'interno del dominio
per quanto già detto prima,nessuna di queste rette,al variare di $k$,lo attraversa


edit: siccome $k$ è un generico numero intero,è indifferente scrivere $-kpi$ o $kpi$

[simoneb11]

"quantunquemente":$y=x+kpi$ è l'equazione di una retta e quindi devi valutare se la retta attraversa l'interno del dominio
per quanto già detto prima,nessuna di queste rette,al variare di $k$,lo attraversa


edit: siccome $k$ è un generico numero intero,è indifferente scrivere $-kpi$ o $kpi$

Ok ora mi è chiaro quel + che non mi tornava, un'ultima cosa, che mi dici del caso che ti ho illustrato, ossia $y=1+0\Pi$? Otterrei $x=1$ e $y=1$, che mi pare appartengano al dominio
(scusami per il disturbo continuo)

Edit: forse sarebbe anche il caso di prendere $y=0x-0\Pi$, e l'origine effettivamente rientra nel dominio..

[quantunquemente]

si, appartiene al dominio ,ma sta sulla frontiera
per quanto riguarda i punti in cui si annullano le derivate parziali,si considerano solo quelli interni al dominio

edit :nessun disturbo,se rispondo è perchè mi va di farlo

[simoneb11]

"quantunquemente":si, appartiene al dominio ,ma sta sulla frontiera
per quanto riguarda i punti in cui si annullano le derivate parziali,si considerano solo quelli interni al dominio

edit :nessun disturbo,se rispondo è perchè mi va di farlo

Allora..mi appello alla tua misericordia perché sto per postarti come ho risolto l'esercizio

Prima di tutto verifico il gradiente nullo della funzione, ottengo
fx=$-sen(x-y)$
fy=$sen(x-y$
Uguagliando a zero trovo $x-y=0$ che nel caso del seno diviene $(y=x+k\pi)$ e $(y=x-\pi+k\pi)$
Provo la prima uguaglianza, ricordando che $0<=x<=1$. Per $x=0$ trovo $y=k\pi$ che vale solo per $k=0$, ossia l'origine. Infatti per un qualsiasi $k<0$ sono fuori dal dominio, idem per un qualsiasi $k>0$ in quanto otterrei numeri dal $\pi$ in su, che sono comunque fuori dai miei valori. Rimane quindi solo (0,0) e il suo studio è rimandato in quanto è punto di frontiera
Per $x=1$ trovo $y=1+k\pi$ che vale solo per $k=0$, altrimenti uscirei fuori dal dominio. Anche (1,1) è un punto di frontiera e il suo studio è rimandato.

Provo la seconda uguaglianza trovando che si annulla solo per $x=-\pi$ in contemporanea a $k=0$ ma $x=-\pi$ è fuori dal mio dominio.

Studio ora la frontiera che decompongo come 3 archi di curva regolare C1,C2,C3 nel seguente modo:

C1 l'arco di parabola definito come ${0<=x<=1, y=x^2}$
Studio in C1 la funzione che risulta essere $cos(x-x^2)$, la cui derivata prima risulta essere $-sen(x-x^2)+2xsen(x-x^2)$ che è nulla per x=0 e $x=1/2$. Calcolando la f in (0,0) ottengo 1, in $(1/2,1/4)$ ottengo $cos(1/4)$, al compito non mi sarà permesso l'uso della calcolatrice, posso dedurre che sia inferiore a 1.

C2 è la verticale passante per $x=1$ e la definisco come ${x=1, 0<=y<=1}$
Studio in C2 la funzione che risulta essere $cos(1-y)$ la cui derivata prima risulta essere $sen(1-y)$ che si annulla solo per y=1. Calcolo la f in (1,1), ottenendo 1.

C3 è la retta orizzontale definita come ${0<=x<=1, y=0}$
Studio in C3 la funzione che risulta essere $cos(x)$ la cui derivata prima $-sen(x)$ si annulla per x=0 e $x=\pi$. In 0,0 ottengo 1, mentre $\pi$ non è nei punti di C3 e non è da considerare.

Concludo che il massimo assoluto è in (1,1) e il minimo assoluto è in $(0,\pi)$

[quantunquemente]

attenzione,la derivata di $cos(x-x^2)$ è uguale a $-sen(x-x^2)cdot(1-2x)$

[simoneb11]

"quantunquemente":attenzione,la derivata di $cos(x-x^2)$ è uguale a $-sen(x-x^2)cdot(1-2x)$

Beh si, ho solo svolto il prodotto..non dirmi che è sbagliato pure quello
Per il resto come ti sembra lo svolgimento?

[quantunquemente]

ah si scusa ,ma la derivata si annulla anche in $x=1/2$
correggi e poi rivediamo tutto insieme

[simoneb11]

"quantunquemente":ah si scusa ,ma la derivata si annulla anche in $x=1/2$
correggi e poi rivediamo tutto insieme

Corretto, che mi dici ora?

[quantunquemente]

per la curva $C_3$,$0leqxleq1$ e quindi non puoi considerare $pi$(tra l'altro,avresti dovuto scrivere $(pi,0)$)
considerando l'intera frontiera,il massimo è $1$ assunto in $(0,0)$ ed $(1,1)$,ed il minimo è $cos1$ assunto in $(1,0)$

[simoneb11]

"quantunquemente":per la curva $C_3$,$0leqxleq1$ e quindi non puoi considerare $pi$(tra l'altro,avresti dovuto scrivere $(pi,0)$)
considerando l'intera frontiera,il massimo è $1$ assunto in $(0,0)$ ed $(1,1)$,ed il minimo è $cos1$ assunto in $(1,0)$

Che idiota che sono, hai ragione! A forza di vedere seni e coseni avevo perso di vista il dominio! Ok correggo (anche lo svolgimento nel mio post in modo che possa servire in futuro), grazie mille comunque!