Calcolo di maggioranti, minoranti, massimi e minimi
Buongiorno a tutti! Avrei la necessità di ricevere una delucidazione in merito all'argomento oggetto del seguente topic.
In particolare, vorrei chiedervi:
esiste un procedimento "universale", valido cioé per qualunque insieme, che mi consenta di determinare i maggioranti, i minoranti, il massimo ed il minimo di un insieme dato? Ve lo chiedo in quanto non sono ben sicuro del risultato ottenuto svolgendo quest'esercizio:
dato l'insieme [tex]A=\left \{ \frac{x^2+3a}{x^2+a}:x\in\mathbb{R},a\in\mathbb{R},a>0 \right \}[/tex], determinare maggioranti, minoranti, massimo e minimo se esistono. Io ho svolto l'esercizio in questo modo, cominciando innanzitutto dai minoranti [tex]h\leq \frac{x^2+3a}{x^2+a}[/tex]. Svolgendo la disequazione, tenendo conto che il denominatore è sempre non nullo e positivo, ottengo infine [tex]x^2\geq \frac{a(h-3)}{1-h}[/tex] che, svolta, mi fornisce le soluzioni [tex]x\leq -\sqrt{\frac{a(h-3)}{a-h}}\cup x\geq+ \sqrt{\frac{a(h-3)}{1-h}}[/tex]. Ora, dovendo considerare i minoranti, è giusto che io consideri solo la parte sinistra delle soluzioni ottenute? Cioé, è corretto dire che l'insieme dato ha per minoranti tutti i numeri [tex]x\leq -\sqrt{\frac{a(h-3)}{a-h}}[/tex] e che per maggioranti ha invece l'altra parte di soluzioni?
Vorrei gentilmente che mi spiegaste dove eventualmente sbaglio e, qualora non sia possibile usare un metodo unico per risolvere questo genere di esercizi, di dirmi come dovrei procedere! Grazie in anticipo!
In particolare, vorrei chiedervi:
esiste un procedimento "universale", valido cioé per qualunque insieme, che mi consenta di determinare i maggioranti, i minoranti, il massimo ed il minimo di un insieme dato? Ve lo chiedo in quanto non sono ben sicuro del risultato ottenuto svolgendo quest'esercizio:
dato l'insieme [tex]A=\left \{ \frac{x^2+3a}{x^2+a}:x\in\mathbb{R},a\in\mathbb{R},a>0 \right \}[/tex], determinare maggioranti, minoranti, massimo e minimo se esistono. Io ho svolto l'esercizio in questo modo, cominciando innanzitutto dai minoranti [tex]h\leq \frac{x^2+3a}{x^2+a}[/tex]. Svolgendo la disequazione, tenendo conto che il denominatore è sempre non nullo e positivo, ottengo infine [tex]x^2\geq \frac{a(h-3)}{1-h}[/tex] che, svolta, mi fornisce le soluzioni [tex]x\leq -\sqrt{\frac{a(h-3)}{a-h}}\cup x\geq+ \sqrt{\frac{a(h-3)}{1-h}}[/tex]. Ora, dovendo considerare i minoranti, è giusto che io consideri solo la parte sinistra delle soluzioni ottenute? Cioé, è corretto dire che l'insieme dato ha per minoranti tutti i numeri [tex]x\leq -\sqrt{\frac{a(h-3)}{a-h}}[/tex] e che per maggioranti ha invece l'altra parte di soluzioni?
Vorrei gentilmente che mi spiegaste dove eventualmente sbaglio e, qualora non sia possibile usare un metodo unico per risolvere questo genere di esercizi, di dirmi come dovrei procedere! Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao,e ben arrivato!
Venendo al tuo quesito perchè,invece,sfruttando le proprietà basilari delle disuguaglianze
(ed il fatto che $x^2>=0$ $AAx inRR$..),
non provi a verificare che $1<(x^2+3a)/(x^2+a)<=3$ $AAx in RR,a in (0,+oo)$?
Per l'altro che poni ci sarebbe un algoritmo "sicuro",
ovvero studiare sommariamente i grafici della famiglia di funzioni,dipendenti dal parametro $a$,
$f_a(x)=(x^2+3a)/(x^2+a):RR to RR$,
ma non son certo che tu sia già a quell'altezza del programma:
laddove in compenso ho buone certezze che affrontarli con occhio allenato sulle disuguaglianze
(il "laser" dell'Analisi,a detta d'un mio vecchio e molto caro Prof!)
sia,alle volte,di gran lunga preferibile
..
Saluti dal web.
P.S.
In merito al tuo procedimento ho un piccolo appunto:
ma se quei minoranti li stai cercando,non hai la sensazione di morderti la coda ad esprimerli in funzione di sè stessi
?
Non che le cosidette "soluzioni ricorsive" non siano un buon escamotage,attenzione
(sopratutto in problemi più "anomali"..),
e talora danno indicazioni decisive per risolvere i problemi(sebbene attraverso vie generalmente più "tortuose"..):
ma quando se ne può agevolmente fare a meno,perchè non risparmiarsele?
Venendo al tuo quesito perchè,invece,sfruttando le proprietà basilari delle disuguaglianze
(ed il fatto che $x^2>=0$ $AAx inRR$..),
non provi a verificare che $1<(x^2+3a)/(x^2+a)<=3$ $AAx in RR,a in (0,+oo)$?
Per l'altro che poni ci sarebbe un algoritmo "sicuro",
ovvero studiare sommariamente i grafici della famiglia di funzioni,dipendenti dal parametro $a$,
$f_a(x)=(x^2+3a)/(x^2+a):RR to RR$,
ma non son certo che tu sia già a quell'altezza del programma:
laddove in compenso ho buone certezze che affrontarli con occhio allenato sulle disuguaglianze
(il "laser" dell'Analisi,a detta d'un mio vecchio e molto caro Prof!)
sia,alle volte,di gran lunga preferibile
..Saluti dal web.
P.S.
In merito al tuo procedimento ho un piccolo appunto:
ma se quei minoranti li stai cercando,non hai la sensazione di morderti la coda ad esprimerli in funzione di sè stessi
?Non che le cosidette "soluzioni ricorsive" non siano un buon escamotage,attenzione
(sopratutto in problemi più "anomali"..),
e talora danno indicazioni decisive per risolvere i problemi(sebbene attraverso vie generalmente più "tortuose"..):
ma quando se ne può agevolmente fare a meno,perchè non risparmiarsele?
Ma perché dovrei verificare che [tex]1< \frac{x^2+3a}{x^2+a}\leq3[/tex]? Da dove hai ricavato quell'uno e quel 3, estremi dell'intervallo?
Perché attraverso quella catena di disuguaglianze potresti iniziare ad avere sospetti decisivi su chi siano, indipendentemente da $a$,estremo inferiore e superiore di quell'insieme numerico
(e quale dei due eventualmente ne è addirittura minimo e\o massimo..)!
Per l'altro quesito ti consiglio,in modo volutamente parziale, d'osservar che $(x^2+3a)/(x^2+a)=1+(2a)/(x^2+a)$ $AA x in RR,AA a in (0,+oo)$:
ti sarà utile..
Saluti dal web.
(e quale dei due eventualmente ne è addirittura minimo e\o massimo..)!
Per l'altro quesito ti consiglio,in modo volutamente parziale, d'osservar che $(x^2+3a)/(x^2+a)=1+(2a)/(x^2+a)$ $AA x in RR,AA a in (0,+oo)$:
ti sarà utile..
Saluti dal web.
Non riesco ancora a capacitarmi del perché di quei due estremi. Non avresti potuto scegliere in modo del tutto arbitrario valori come 5 e 6?
Per buttarla sull'immediato ti dico che il minorante $1$
(a proposito..è "solo" tale,o riesci a dire che addirittura è il più grande dei minoranti pur non appartenendo al tuo insieme numerico?)
salta fuori dalla considerazione, abbastanza comoda da verificare,
che quella frazione è impropria indipendentemente dal valore di $a in RR^+ ,x in RR$:
ci sbatti un pò tu per capire che il maggiorante $3$ non l'ho estratto dal cilindro come coniglio fortunato?
Saluti dal web.
(a proposito..è "solo" tale,o riesci a dire che addirittura è il più grande dei minoranti pur non appartenendo al tuo insieme numerico?)
salta fuori dalla considerazione, abbastanza comoda da verificare,
che quella frazione è impropria indipendentemente dal valore di $a in RR^+ ,x in RR$:
ci sbatti un pò tu per capire che il maggiorante $3$ non l'ho estratto dal cilindro come coniglio fortunato?
Saluti dal web.
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