Calcolo di lunghezze
Buon giorno, anche se non sono arrivato ancora ad Analisi II, ultimamente ho una curiosità che col vostro aiuto vorrei soddisfare.
Si tratta di calcolare la lunghezza di un pezzo di "curva" di equazione nota f(x), diciamo il pezzo di curva compreso fra A e B, con A e B reali.
Ovviamente sarebbe logico aspettarsi che tale risultato dipenda da f(x).
Giocherellando con un pezzo di carta e penna, ho pensato di dividere l'asse delle ascisse in n parti distinte, e calcolare l'approssimata lunghezza come $\sum_n f(n+1)-f(n)$ Mi sono accorto che facendo tendere all'infinito n, tale somma di segmenti verticali si "avvicina" sempre più al grafico. Quindi ho proposto come soluzione la seguente
$ \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(i+1)-f(i) = \int_A^B f(x+dx)-f(x)$
So bene che tale risultato è sbagliato...vorrei sapere DOVE E' SBAGLIATO IL RAGIONAMENTO, cioè in che modo ho fallato col metodo di esaustione.
Si tratta di calcolare la lunghezza di un pezzo di "curva" di equazione nota f(x), diciamo il pezzo di curva compreso fra A e B, con A e B reali.
Ovviamente sarebbe logico aspettarsi che tale risultato dipenda da f(x).
Giocherellando con un pezzo di carta e penna, ho pensato di dividere l'asse delle ascisse in n parti distinte, e calcolare l'approssimata lunghezza come $\sum_n f(n+1)-f(n)$ Mi sono accorto che facendo tendere all'infinito n, tale somma di segmenti verticali si "avvicina" sempre più al grafico. Quindi ho proposto come soluzione la seguente
$ \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(i+1)-f(i) = \int_A^B f(x+dx)-f(x)$
So bene che tale risultato è sbagliato...vorrei sapere DOVE E' SBAGLIATO IL RAGIONAMENTO, cioè in che modo ho fallato col metodo di esaustione.
Risposte
Up..
In sostanza vorrei sapere se quello che ho scritto nel grafico contenuto a pag. 2 di questo argomento è corretto...ho provato a considerare quella lunghezza "per rettangolini" o "per triangolini". Il mio obiettivo è sapere come risolvere dei problemi pratici usando il calcolo integrale, non tanto la formula finale in se...
In sostanza vorrei sapere se quello che ho scritto nel grafico contenuto a pag. 2 di questo argomento è corretto...ho provato a considerare quella lunghezza "per rettangolini" o "per triangolini". Il mio obiettivo è sapere come risolvere dei problemi pratici usando il calcolo integrale, non tanto la formula finale in se...
Mettila così, senza nessun formalismo.
Vuoi approssimare la lunghezza della funzione in x, x+dx, con [f(x+dx)-f(x)]/2 *dx, perchè approssimarla da una cosa che sembra un'area, e non utilizzare il teorema di Pitagora apprissimando la lunghezza della curva con la lunghezza del segmento.
Vuoi approssimare la lunghezza della funzione in x, x+dx, con [f(x+dx)-f(x)]/2 *dx, perchè approssimarla da una cosa che sembra un'area, e non utilizzare il teorema di Pitagora apprissimando la lunghezza della curva con la lunghezza del segmento.
Chiedevo solo se il mio ragionamento fosse corretto...cioè se l'integrale si usa in questo modo (in qualunque problema, non solo in questo)
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