Calcolo di lunghezze
Buon giorno, anche se non sono arrivato ancora ad Analisi II, ultimamente ho una curiosità che col vostro aiuto vorrei soddisfare.
Si tratta di calcolare la lunghezza di un pezzo di "curva" di equazione nota f(x), diciamo il pezzo di curva compreso fra A e B, con A e B reali.
Ovviamente sarebbe logico aspettarsi che tale risultato dipenda da f(x).
Giocherellando con un pezzo di carta e penna, ho pensato di dividere l'asse delle ascisse in n parti distinte, e calcolare l'approssimata lunghezza come $\sum_n f(n+1)-f(n)$ Mi sono accorto che facendo tendere all'infinito n, tale somma di segmenti verticali si "avvicina" sempre più al grafico. Quindi ho proposto come soluzione la seguente
$ \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(i+1)-f(i) = \int_A^B f(x+dx)-f(x)$
So bene che tale risultato è sbagliato...vorrei sapere DOVE E' SBAGLIATO IL RAGIONAMENTO, cioè in che modo ho fallato col metodo di esaustione.
Si tratta di calcolare la lunghezza di un pezzo di "curva" di equazione nota f(x), diciamo il pezzo di curva compreso fra A e B, con A e B reali.
Ovviamente sarebbe logico aspettarsi che tale risultato dipenda da f(x).
Giocherellando con un pezzo di carta e penna, ho pensato di dividere l'asse delle ascisse in n parti distinte, e calcolare l'approssimata lunghezza come $\sum_n f(n+1)-f(n)$ Mi sono accorto che facendo tendere all'infinito n, tale somma di segmenti verticali si "avvicina" sempre più al grafico. Quindi ho proposto come soluzione la seguente
$ \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(i+1)-f(i) = \int_A^B f(x+dx)-f(x)$
So bene che tale risultato è sbagliato...vorrei sapere DOVE E' SBAGLIATO IL RAGIONAMENTO, cioè in che modo ho fallato col metodo di esaustione.
Risposte
hO DIMENTICATO IL valore assoluto! Altrimenti mi diventa na serie telescopica:
$\int_A^B |f(x+dx)-f(x)|$
Nel caso sia giusto ho provato a sperimentare con una funzione, per esempio y = x^2. Ponendo A = 0 e B = 1 si avrebbe
$\Delta s = \int_0^1 |(x+dx)^2-x^2|=\int_0^1 |x^2+2xdx+d^2x-x^2|=\int_0^1 |2xdx+d^2x|. $
Ehm...Come si integra un differenziale del secondo ordine?!
$\int_A^B |f(x+dx)-f(x)|$
Nel caso sia giusto ho provato a sperimentare con una funzione, per esempio y = x^2. Ponendo A = 0 e B = 1 si avrebbe
$\Delta s = \int_0^1 |(x+dx)^2-x^2|=\int_0^1 |x^2+2xdx+d^2x-x^2|=\int_0^1 |2xdx+d^2x|. $
Ehm...Come si integra un differenziale del secondo ordine?!
Scogliendo il valore assoluto si deve porre
$2xdx+d^2x>0\implies dx(2x+dx)>0\implies dx>-2x\implies \int dx > \int -2x\implies x>-x^2$ Eq. associata soluzioni 0 e -1. Quindi la disuguaglianza è certamente vera per x>0 e x<-1, quindi lo è sicuramente per l'intervallo considerato. Abbiamo quindi
$\int_0^1 2xdx+d^2x=\int_0^1 2xdx + \int_0^1 d^2x=\int_0^1 x^2 + \int_0^1 dxdx $
$2xdx+d^2x>0\implies dx(2x+dx)>0\implies dx>-2x\implies \int dx > \int -2x\implies x>-x^2$ Eq. associata soluzioni 0 e -1. Quindi la disuguaglianza è certamente vera per x>0 e x<-1, quindi lo è sicuramente per l'intervallo considerato. Abbiamo quindi
$\int_0^1 2xdx+d^2x=\int_0^1 2xdx + \int_0^1 d^2x=\int_0^1 x^2 + \int_0^1 dxdx $
Ma cosa vuoi calcolare?
Per calcolare la lunghezza di una f C1 hai $int_a^b\ sqrt(1+f'^2(x))\ dx$
Te invece stai "calcolando" la variazione.
Prendi ad esempio a=0, b=1, f(x)=x; $sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_(i-1))|\ =\ x_n\ =\ b\ = \1$ per qualsiasi partizione.
Ma la lunghezza lunghezza nel piano della curva è $sqrt(2)$
Per calcolare la lunghezza di una f C1 hai $int_a^b\ sqrt(1+f'^2(x))\ dx$
Te invece stai "calcolando" la variazione.
Prendi ad esempio a=0, b=1, f(x)=x; $sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_(i-1))|\ =\ x_n\ =\ b\ = \1$ per qualsiasi partizione.
Ma la lunghezza lunghezza nel piano della curva è $sqrt(2)$
Ma facendo tendere a infinito n l'insieme di questi "trattini" dovrebbe avvicinarsi alla curva in questione o no?
Non è tanto per la formuletta preconfezionata che chiedo aiuto...il problema è che usando il metodo di esaustione ottengo risultati diversi a seconda se uso sei rettangolini, dei triangolini o delle linee verticali come in questo caso...teoricamente invece AL LIMITE dovrei comunque ottenere la traiettoria della curva...quindi credo che ci sia un errore teorico in tutto questo, e vorrei scoprire qual'è....
bhè, la formuletta è giustificata da un approccio "fisico": stai sommando gli infinitesimi spazi percorsi, che sono dati dal prodotto della velocità scalare per un tempo infinitesimo. se hai studiato l'uniforme continuità puoi anche guardarti la dimostrazione.
detto questo, ti sconsiglio di proseguire per la tua strada: il problema delle approssimazioni è notevole, non per niente richiede molto studio.
ho letto solo il primo post, e credo sia sufficiente per dire che sbagli perchè nella sommatoria non consideri la distanza tra due punti della curva, ma solo quelli dell'ordinata. in pratica stai cercando di calcolare la lunghezza di un segmento che va continuamente "su e giù" (se prendi una funzione non monotona). questo vale anche se consideri la norma.
un'altra cosa, quell'integrale non avrebbe senso: come fai a differenziare solo una funzione? non c'è modo di integrare quella cosa così.
infine ti ricordo che il regolamento vieta di uppare prima che siano passate 24 ore (significa che non si possono scrivere due post consecutivi, se tra i due non c'è la risposta di qualcuno). non che sia moderatore, ma mettiti nei panni di chi aspetta correttamente il proprio turno...
detto questo, ti sconsiglio di proseguire per la tua strada: il problema delle approssimazioni è notevole, non per niente richiede molto studio.
ho letto solo il primo post, e credo sia sufficiente per dire che sbagli perchè nella sommatoria non consideri la distanza tra due punti della curva, ma solo quelli dell'ordinata. in pratica stai cercando di calcolare la lunghezza di un segmento che va continuamente "su e giù" (se prendi una funzione non monotona). questo vale anche se consideri la norma.
un'altra cosa, quell'integrale non avrebbe senso: come fai a differenziare solo una funzione? non c'è modo di integrare quella cosa così.
infine ti ricordo che il regolamento vieta di uppare prima che siano passate 24 ore (significa che non si possono scrivere due post consecutivi, se tra i due non c'è la risposta di qualcuno). non che sia moderatore, ma mettiti nei panni di chi aspetta correttamente il proprio turno...
Ma non ho uppato ...ho aggiunto delle cose per completezza, non l'ho fatto con l'intenzione di uppare, mi dispiace...
Ma se io considero tutto in valore ASSOLUTO, al limite quei trattini verticali diventano sempre piu piccoli e piu piccoli...al limite ottengo sempre i singoli punti della curva...quindi col risultato dovrei trovarmi...è questo che non ho capito
Ma se io considero tutto in valore ASSOLUTO, al limite quei trattini verticali diventano sempre piu piccoli e piu piccoli...al limite ottengo sempre i singoli punti della curva...quindi col risultato dovrei trovarmi...è questo che non ho capito
facciamo così: per semplicità considera una funzione monotona strettamente crescente definita in un intervallo chiuso e limitato [a,b].
allora la sommatoria del primo post è equivalente a quella con la norma.
ora considera come funzione la retta y = x: secondo te la lunghezza della retta dovrebbe essere data dalle somme f(i+1) - f(i)? così facendo ti stai calcolando la lunghezza dell'insieme immagine, non della curva!
per modificare un messaggio è sufficiente cliccare sul tasto modifica in alto a destra
allora la sommatoria del primo post è equivalente a quella con la norma.
ora considera come funzione la retta y = x: secondo te la lunghezza della retta dovrebbe essere data dalle somme f(i+1) - f(i)? così facendo ti stai calcolando la lunghezza dell'insieme immagine, non della curva!
per modificare un messaggio è sufficiente cliccare sul tasto modifica in alto a destra
Ma se consideriamo la somma GEOMETRICA, invece di quella algebrica...sarà una somma di tanti trattiini via via piu fitti e piccoli, fino a stabilizzarsi nella retta in questione...
Inoltre ho fatto un altro esperimento...ho provato ad applicare l'esaustione utilizzando dei triangoli rettangoli di base infinitesima e altezza |f(i)-f(i-1)|...anche questo dovrebbe stabilizzarsi nella lunghezza della traiettoria per n che va ad infinito...invece trovo uno stranissimo fattore 1/2 nel risultato...vorrei imparare a USARE l'esaustione...
Inoltre ho fatto un altro esperimento...ho provato ad applicare l'esaustione utilizzando dei triangoli rettangoli di base infinitesima e altezza |f(i)-f(i-1)|...anche questo dovrebbe stabilizzarsi nella lunghezza della traiettoria per n che va ad infinito...invece trovo uno stranissimo fattore 1/2 nel risultato...vorrei imparare a USARE l'esaustione...
questa "esaustione" non l'ho mai sentita. ti ho detto perchè sbagli, ed è quello che volevi sapere. se ti serve qualcos'altro aspetta qualche mod o qualche utente più qualificato, comunque ti consiglio di ragionarci un po', perchè alla fine si tratta di applicare il teorema di pitagora
Posso postare un disegno per mostrare quello che avevo in mente?
certo, mica devi chiederlo a me. basta sempre che rispetti il regolamento. come ti ho detto prima, l'importante è non scrivere 2 post adiacenti uno all'altro prima che siano trascorse 24 ore.
Ok ho fatto il disegno
http://img560.imageshack.us/i/experimentc.png/
Come si vede all'aumentare di N la somma GEOMETRICA dei vari "listelli" si avvicina sempre piu al grafico...o no?
http://img560.imageshack.us/i/experimentc.png/
Come si vede all'aumentare di N la somma GEOMETRICA dei vari "listelli" si avvicina sempre piu al grafico...o no?
Come ti diceva enr87 devi usare il teorema di pitagora:
se vuoi calcolare la lunghezza ($l$) della curva tra $x$ e $x+Deltax$, la approssimi linearmente con $L=sqrt(Delta^2x+[f(x+Deltax)-f(x)]^2)$
se vuoi calcolare la lunghezza ($l$) della curva tra $x$ e $x+Deltax$, la approssimi linearmente con $L=sqrt(Delta^2x+[f(x+Deltax)-f(x)]^2)$
L'ho già fatto e riesce...solo che non riesco a capire perchè il mio ragionamento "funzioni" nel disegno ma non coi conti!:)
Il problema è che non si capisce cosa tu voglia fare.
Prendiamo una funzione [tex]$f:[A,B] \to \mathbb{R}$[/tex].
Poi dici calcolo [tex]\sum_n |f(n+1)-f(n)|[/tex] e quando mando [tex]$n\to \infty$[/tex] aumentano gli addendi e migliora l'approssimazione: ma come è possibile ciò se esiste solo un numero finito di naturali contenuti in [tex]$[A,B]$[/tex] (proprietà di Archimede)?
Vabbè, diamo per scontato che, invece di valutare [tex]$f$[/tex] in [tex]$n$[/tex], tu voglia fare un procedimento iterativo, ossia per ogni fissato [tex]$n$[/tex] prendere un numero finito di punti [tex]$\{x_0^{(n)},\ldots ,x_{N}^{(n)}\}\subseteq [A,B]$[/tex] ordinati in modo crescente ossia [tex]$x_{k+1}^{(n)} >x_k^{(n)}$[/tex].
Ora consideri le somme [tex]\sum_k |f(x_{k+1}^{(n)})-f(x_{k}^{(n)})|[/tex]: cosa rappresentano queste somme?
Graficamente, esse rappresentano la somma delle distanze tra i valori assunti da [tex]$f$[/tex] agli estremi dell'intervallino [tex]$[x_k^{(n)},x_{k+1}^{(n)}]$[/tex]: ad esempio:
[asvg]xmin=0;xmax=2;ymin=0;ymax=2;
axes("","");
plot("1+cos((17*3.14*x)/8)");
stroke="red"; dot([1,0]); dot([1.7,0]); line([1,0],[1,1.92]); line([1.7,0],[1.7, 1.34]);
stroke="dodgerblue"; dot([0,1.92]); dot([0,1.34]); line([0,1.92],[1,1.92]); line([0,1.34],[1.7, 1.34]);
stroke="black"; dot([1,1.92]); dot([1.7, 1.34]);[/asvg]
Quindi, se la tua [tex]$f$[/tex] è monotona, allora ognuna di quelle somme si riduce a [tex]$|f(B)-(A)|$[/tex], che è in generale diverso dalla lunghezza dell'arco del grafico di [tex]$f$[/tex] d'estremi [tex]$A,B$[/tex]... Provare per credere: è facile, basta prendere [tex]$A=0,B=1, f(x)=2x$[/tex].
Tuttavia un legame tra le due questioni c'è.
In realtà il "limite" di quelle somme (che poi limite non è perchè è un estremo superiore) si chiama variazione totale di [tex]$f$[/tex] nell'intervallo [tex]$[A,B]$[/tex] e si riesce a dimostrare che il grafico di [tex]$f$[/tex] è una curva rettificabile (cioè ha lunghezza finita) se e solo se la [tex]$f$[/tex] ha variazione totale finita, ossia come si usa dire se [tex]$f$[/tex] è una funzione a variazione limitata.
Inoltre, per essere precisi, il "limite" delle tue somme si indica con [tex]$V_A^B(f)$[/tex] e si chiama variazione totale di [tex]$f$[/tex] in [tex]$[A,B]$[/tex]; si dimostra, inoltre che se [tex]$f$[/tex] è [tex]$C^1$[/tex] (ma basta meno) allora si ha:
[tex]$V_A^B(f)=\int_A^B |f^\prime|$[/tex].
Per maggiori ragguagli vedi qui pagg.83 e seguenti.
Prendiamo una funzione [tex]$f:[A,B] \to \mathbb{R}$[/tex].
Poi dici calcolo [tex]\sum_n |f(n+1)-f(n)|[/tex] e quando mando [tex]$n\to \infty$[/tex] aumentano gli addendi e migliora l'approssimazione: ma come è possibile ciò se esiste solo un numero finito di naturali contenuti in [tex]$[A,B]$[/tex] (proprietà di Archimede)?
Vabbè, diamo per scontato che, invece di valutare [tex]$f$[/tex] in [tex]$n$[/tex], tu voglia fare un procedimento iterativo, ossia per ogni fissato [tex]$n$[/tex] prendere un numero finito di punti [tex]$\{x_0^{(n)},\ldots ,x_{N}^{(n)}\}\subseteq [A,B]$[/tex] ordinati in modo crescente ossia [tex]$x_{k+1}^{(n)} >x_k^{(n)}$[/tex].
Ora consideri le somme [tex]\sum_k |f(x_{k+1}^{(n)})-f(x_{k}^{(n)})|[/tex]: cosa rappresentano queste somme?
Graficamente, esse rappresentano la somma delle distanze tra i valori assunti da [tex]$f$[/tex] agli estremi dell'intervallino [tex]$[x_k^{(n)},x_{k+1}^{(n)}]$[/tex]: ad esempio:
[asvg]xmin=0;xmax=2;ymin=0;ymax=2;
axes("","");
plot("1+cos((17*3.14*x)/8)");
stroke="red"; dot([1,0]); dot([1.7,0]); line([1,0],[1,1.92]); line([1.7,0],[1.7, 1.34]);
stroke="dodgerblue"; dot([0,1.92]); dot([0,1.34]); line([0,1.92],[1,1.92]); line([0,1.34],[1.7, 1.34]);
stroke="black"; dot([1,1.92]); dot([1.7, 1.34]);[/asvg]
Quindi, se la tua [tex]$f$[/tex] è monotona, allora ognuna di quelle somme si riduce a [tex]$|f(B)-(A)|$[/tex], che è in generale diverso dalla lunghezza dell'arco del grafico di [tex]$f$[/tex] d'estremi [tex]$A,B$[/tex]... Provare per credere: è facile, basta prendere [tex]$A=0,B=1, f(x)=2x$[/tex].
Tuttavia un legame tra le due questioni c'è.
In realtà il "limite" di quelle somme (che poi limite non è perchè è un estremo superiore) si chiama variazione totale di [tex]$f$[/tex] nell'intervallo [tex]$[A,B]$[/tex] e si riesce a dimostrare che il grafico di [tex]$f$[/tex] è una curva rettificabile (cioè ha lunghezza finita) se e solo se la [tex]$f$[/tex] ha variazione totale finita, ossia come si usa dire se [tex]$f$[/tex] è una funzione a variazione limitata.
Inoltre, per essere precisi, il "limite" delle tue somme si indica con [tex]$V_A^B(f)$[/tex] e si chiama variazione totale di [tex]$f$[/tex] in [tex]$[A,B]$[/tex]; si dimostra, inoltre che se [tex]$f$[/tex] è [tex]$C^1$[/tex] (ma basta meno) allora si ha:
[tex]$V_A^B(f)=\int_A^B |f^\prime|$[/tex].
Per maggiori ragguagli vedi qui pagg.83 e seguenti.
Ho pensato che probabilmente il problema nasce dal fatto che l'espressione "infinitesima" $f(x+dx)-f(x)$ non ha uno "spessore"...e se considerassi iterativamente l'espressione
$(f(x+dx)-f(x))dx$ la cosa cambierebbe? Ora sono dei "rettangolini" che sto sommando...oppure qualcosa del tipo
$\frac{f(x+dx)-f(x)}{2}dx$ sono dei triangolini "rettangoli" di base infinitesima e altezza eguale a quella linea calcolata prima...
$(f(x+dx)-f(x))dx$ la cosa cambierebbe? Ora sono dei "rettangolini" che sto sommando...oppure qualcosa del tipo
$\frac{f(x+dx)-f(x)}{2}dx$ sono dei triangolini "rettangoli" di base infinitesima e altezza eguale a quella linea calcolata prima...
"newton_1372":
Ho pensato che probabilmente il problema nasce dal fatto che l'espressione "infinitesima" $f(x+dx)-f(x)$ non ha uno "spessore"
Be vacci piano, dipende comunque tutto da come definisci f(x+dx)-f(x).
Ad esempio se consideri una funzione a variazione limtata puoi dare un senso all'espressione $int_A^B\ g df$, g misurabile.
Tornando al problema delle lunghezze una cosa importante che spero tu abbia compreso, che la lunghezza si sviluppa nello spazio (Dominio,Codominio) della funzione, invece la variazione in un certo senso "misura la strada percorsa dalla funzione", in termini di codominio.
Per quanto riguarda questo:
...e se considerassi iterativamente l'espressione
$(f(x+dx)-f(x))dx$ la cosa cambierebbe? Ora sono dei "rettangolini" che sto sommando...oppure qualcosa del tipo
$\frac{f(x+dx)-f(x)}{2}dx$ sono dei triangolini "rettangoli" di base infinitesima e altezza eguale a quella linea calcolata prima...
Anche qua devi un po definire quello che vuoi esprimere.
Comunque considerando la prima, se consideri l'espressione $sum\ Deltax_i\ |f(x_i+Deltax_i)-f(x_i)|$ converge a 0, se f è a variazione limitata.
Up
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