Calcolo di limiti in coord. polari
Vorrei chiedere delucidazioni sul passaggio in coordinate polari per risolvere un limite:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (x ln (2+ (xy) / (x^(2) +y^(2)) ) - y ln 2) / (x^2 + y^2)^(1 / 2) $
Ora, sostituendo $ x = l cos(a) , y = l sen(a) $
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (x ln (2+ (xy) / (x^(2) +y^(2)) ) - y ln 2) / (x^2 + y^2)^(1 / 2)= lim_(l -> 0) (l sena* ln (2 + l^2 (sena* cosa) / (l^2)) - l sena* (ln 2)) / l $
E' giusto fare questa sostituzione?
Sullo svolgimento dell'esercizio, nell'uguaglianza viene aggiunto $lim_((x,y) -> (0,0)) "sup" / ( a in [0,2π) ) (x ln (2+ (xy) / (x^(2) +y^(2)) ) - y ln 2) / (x^2 + y^2)^(1 / 2)$
cioè il sup sugli $a in [0, 2π)$ .
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (x ln (2+ (xy) / (x^(2) +y^(2)) ) - y ln 2) / (x^2 + y^2)^(1 / 2) $
Ora, sostituendo $ x = l cos(a) , y = l sen(a) $
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (x ln (2+ (xy) / (x^(2) +y^(2)) ) - y ln 2) / (x^2 + y^2)^(1 / 2)= lim_(l -> 0) (l sena* ln (2 + l^2 (sena* cosa) / (l^2)) - l sena* (ln 2)) / l $
E' giusto fare questa sostituzione?
Sullo svolgimento dell'esercizio, nell'uguaglianza viene aggiunto $lim_((x,y) -> (0,0)) "sup" / ( a in [0,2π) ) (x ln (2+ (xy) / (x^(2) +y^(2)) ) - y ln 2) / (x^2 + y^2)^(1 / 2)$
cioè il sup sugli $a in [0, 2π)$ .
Risposte
E si, fa bene l'estensore dell'esercizio. Devi controllare che il parametro \(a\) non dia fastidio e questo di prendere il sup è un buon modo per farlo. Consulta questo post:
post499363.html#p499363
post499363.html#p499363
Grazie, ci darò un'occhiata.