Calcolo di limiti

[PrInCeSs Of MuSiC]

Ciao.

Credo di aver sbagliato questo limite sul compito, perché è una forma 0/0 e quindi non posso dividerlo.. però come faccio a risolverlo?
Nonostante ho sbagliato il procedimento, il risultato non cambia. Mi aiutate?

[math]\lim_{x\to0}{\frac{ln(1+x^2) + 1 - cosx}{x^2}}[/math]

[carlogiannini]

A me viene "

[math]-\infty[/math]

" .
.

[math]\frac{\ln{(1+x^2)}+1-\cos x}{x^2}\mapsto \frac{\ln{(x^2)}+1-1}{x^2}=\frac{\ln{x^2}}{x^2}\mapsto (x^2=y)\mapsto \frac{\ln y}{y}\mapsto -\infty[/math]

.
.
Se sbaglio, correggetemi.
Carlo

[PrInCeSs Of MuSiC]

Come puoi far sparire l'1 dall'argomento del logaritmo?
E soprattutto.. ok che il cos0 è 1.. ma farlo così non penso sia giusto.. e il risultato viene 3/2..

[carlogiannini]

Hai ragione, mi sono confuso con x che tende a infinito.
Usando i limiti notevoli

[math]\frac{ln(1+x^2)}{x^2}=\ (x^2=y)\ =\frac{ln(1+y)}{y}\mapsto 1\\\frac{1-cosx}{x^2}\mapsto \frac{1}{2}\\quindi:\\1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}[/math]

.
.
in alternativa si può risolvere con l'Hopital derivando separatamente num e denom

[PrInCeSs Of MuSiC]

Carlo, apprezzo l'aiuto, ma non buttare a caso le risposte. Sono stata moderatrice in questo forum e ti assicuro che se fosse per saresti già stato segnalato. Ad ogni modo ho risolto, c'era solo un errore di segno sullo svolgimento effettuato con De L'Hopital.

L'ultimo svolgimento che hai proposto contiene un errore grave, ti lascio le regole per le operazioni con i limiti di funzioni:
"Il limite della somma, differenza, prodotto, quoziente di due funzioni è rispettivamente uguale alla somma, differenza, prodotto, quoziente (se il denominatore è diverso da zero) dei due limiti, purché NON SIA UNA DELLE FORME INDETERMINATE

[math]\infty - \infty[/math]

,

[math]0*\infty[/math]

,

[math]\frac{0}{0}[/math]

,

[math]\infty * \infty[/math]

"

Detto questo, ti ringrazio ugualmente dell'aiuto datomi, ma in futuro non rispondere se non sei sicuro della risposta, visto che va a discapito dell'utente in questione.

[carlogiannini]

Quelle che tu citi sono effettivamente le regole per le operazioni coi limiti.
Altro è il Teorema di De L'Hopital da me suggerito, che serve proprio per cercare di risolvere le forme indeterminate

[math]\frac{0}{0}\ e\ \frac{\infty}{\infty}[/math]

.
Da wikipedia
https://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_de_l'Hôpital .

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Teorema: se

[math]\begin{aligned} \lim_{x\to x_0} f(x) = l_1 \in \mathbb{R} \end{aligned}[/math]

e

[math]\begin{aligned} \lim_{x\to x_0} g(x) = l_2 \in \mathbb{R} \end{aligned}[/math]

,
allora

[math]\begin{aligned} \lim_{x\to x_0} [f(x) + g(x)] = l_1 + l_2 \end{aligned}[/math]

. Dato che nello specifico,
dalla conoscenza dei ben noti "limiti notevoli", sappiamo valere

[math]\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{\log(1 + x^2)}{x^2} = 1 \end{aligned}[/math]

e

[math]\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \end{aligned}[/math]

, per detto
teorema si ha

[math]\small \begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{\log(1 + x^2) + 1 - \cos x}{x^2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \end{aligned}\\[/math]

. Fine.


Nota: cerchiamo di essere meno polemici e più concreti, grazie.