Calcolo di limite, risultati diversi con differenti procedimenti
Ciao, vi chiedo un parere su una questione che da ieri mi lascia perplesso.
Devo calcolare il $lim_(x to 3^+)(ln(x-3))/(ln(x^2-9))$.
Provo prima così: [size=120]$lim_(x to 3^+)(ln(x-3))/(ln(x-3)+ln(x+3))=lim_(x to 3^+)1/(1+(ln(x+3))/(ln(x-3)))=1$[/size] ;
a questo punto, volendo essere più dettagliato, considero che il termine $(ln(x+3))/(ln(x-3))$ a denominatore nell'ultimo passaggio tende a $0^-$ e quindi il limite suddetto risulta essere un limite per eccesso, cioè $1^+$. Bene.
Volendo mostrare l'equivalenza di modi differenti di calcolare lo stesso limite, provo con De L'Hopital e trovo:
[size=120]
$lim_(x to 3^+)(1/(x-3))/((2x)/(x^2-9))=lim_(x to 3^+)(x^2-9)/(2x(x-3))=lim_(x to 3^+)(x+3)/(2x)=1$[/size],
e fin qua tutto bene, ma se mi addentro a capire se il limite è per eccesso o per difetto mi risulta che:
$(x+3)/(2x)=(x+3)/(x+x)$ che per $x>3$ (come prevede il limite per $x to 3^+$) risulta minore di $(x+3)/(x+3)=1$, per cui il limite
così calcolato risulta essere per difetto, cioè $1^-$.
Ho sbagliato io qualcosa o c'è un particolare che mi sfugge?
Devo calcolare il $lim_(x to 3^+)(ln(x-3))/(ln(x^2-9))$.
Provo prima così: [size=120]$lim_(x to 3^+)(ln(x-3))/(ln(x-3)+ln(x+3))=lim_(x to 3^+)1/(1+(ln(x+3))/(ln(x-3)))=1$[/size] ;
a questo punto, volendo essere più dettagliato, considero che il termine $(ln(x+3))/(ln(x-3))$ a denominatore nell'ultimo passaggio tende a $0^-$ e quindi il limite suddetto risulta essere un limite per eccesso, cioè $1^+$. Bene.
Volendo mostrare l'equivalenza di modi differenti di calcolare lo stesso limite, provo con De L'Hopital e trovo:
[size=120]
$lim_(x to 3^+)(1/(x-3))/((2x)/(x^2-9))=lim_(x to 3^+)(x^2-9)/(2x(x-3))=lim_(x to 3^+)(x+3)/(2x)=1$[/size],
e fin qua tutto bene, ma se mi addentro a capire se il limite è per eccesso o per difetto mi risulta che:
$(x+3)/(2x)=(x+3)/(x+x)$ che per $x>3$ (come prevede il limite per $x to 3^+$) risulta minore di $(x+3)/(x+3)=1$, per cui il limite
così calcolato risulta essere per difetto, cioè $1^-$.
Ho sbagliato io qualcosa o c'è un particolare che mi sfugge?
Risposte
Non mi pare che De L'Hopital ti dica che il rapporto delle derivate di due funzioni tenda al limite del rapporto nello stesso modo
Cioè se ${f'(x)}/(g'(x))\to L^+$, non è detto che $f(x)/(g(x))\to L^+$.

Cioè se ${f'(x)}/(g'(x))\to L^+$, non è detto che $f(x)/(g(x))\to L^+$.
E' interessante pero'. Non mi ero mai posto il problema. Sono d'accordo con la risposta di Plepp, ma sarebbe carino avere qualche esempio più semplice per capire meglio.
Intanto grazie per le risposte.
Di fatto però continuo ad essere dubbioso. Anche perché, se plepp ha ragione, in tutti i casi in cui non c'è alternativa al fatto di ricorrere a De L'Hopital l'eventuale eccesso o difetto sul limite anche in caso si possano dedurre non sono credibili.
Di fatto però continuo ad essere dubbioso. Anche perché, se plepp ha ragione, in tutti i casi in cui non c'è alternativa al fatto di ricorrere a De L'Hopital l'eventuale eccesso o difetto sul limite anche in caso si possano dedurre non sono credibili.
Vediamo se si riesce a chiarire la questione.
Supponiamo, per semplicità, di avere un limite del tipo
\[
(1) \qquad \lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)}{g(x)}\,,
\]
con \(f, g\colon (0, b) \to \mathbb{R}\) derivabili, \(g'(x) \neq 0\) per ogni \(x\in (0,b)\), e supponiamo che esista finito (anzi, per semplicità diciamo uguale a \(1\)) il limite
\[
(2) \qquad \lim_{x\to 0^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = 1,
\qquad\text{con}\ f'(x) < g'(x)\ \forall x\in (0,b)
\]
(in modo tale che il limite in (2) sia raggiunto per difetto).
Vediamo due casi modello.
i) Se \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0*} g(x) = 0\), sono verificate le ipotesi del teorema di l'Hopital.
Il limite in (1) vale dunque \(1\), e questo valore è raggiunto anch'esso per difetto, poiché l'ipotesi \(f' < g'\) implica \(f < g\).
Quindi, in questo caso, va tutto bene (cioè la regola di l'Hopital registra correttamente il limite per difetto/eccesso).
ii) Se \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0*} g(x) = -\infty\) (come sostanzialmente avviene nel caso in questione), sono ancora verificate le ipotesi del teorema di l'Hopital.
Supponiamo inoltre che, come nel caso dell'esempio di Palliit,
\[
(3) \qquad \lim_{x\to 0^+} f'(x) = \lim_{x\to 0^+} g'(x) = +\infty.
\]
Vediamo subito che se ad esempio si ha \(g(x) = f(x) + h(x)\), con
\[
h(x) > 0,\quad h'(x) > 0\qquad \forall x\in (0,b)
\]
(ovviamente \(h\) dovrà essere limitata oppure un infinito di ordine inferiore a \(g\) per \(x\to 0^+\)), si ha che
\[
f(x) < f(x) + h(x) = g(x)\quad \Longrightarrow\quad \frac{f(x)}{g(x)} > 1\quad (\text{poiché}\ f,g < 0),
\]
\[
f'(x) < f'(x) + h'(x) = g'(x) \quad \Longrightarrow\quad \frac{f'(x)}{g'(x)} < 1\quad (\text{poiché}\ f',g' > 0),
\]
in un opportuno intorno destro di \(0\).
In questo caso si ha l'inversione dei comportamenti eccesso/difetto, come mostrato nell'esempio proposto.
Supponiamo, per semplicità, di avere un limite del tipo
\[
(1) \qquad \lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)}{g(x)}\,,
\]
con \(f, g\colon (0, b) \to \mathbb{R}\) derivabili, \(g'(x) \neq 0\) per ogni \(x\in (0,b)\), e supponiamo che esista finito (anzi, per semplicità diciamo uguale a \(1\)) il limite
\[
(2) \qquad \lim_{x\to 0^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = 1,
\qquad\text{con}\ f'(x) < g'(x)\ \forall x\in (0,b)
\]
(in modo tale che il limite in (2) sia raggiunto per difetto).
Vediamo due casi modello.
i) Se \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0*} g(x) = 0\), sono verificate le ipotesi del teorema di l'Hopital.
Il limite in (1) vale dunque \(1\), e questo valore è raggiunto anch'esso per difetto, poiché l'ipotesi \(f' < g'\) implica \(f < g\).
Quindi, in questo caso, va tutto bene (cioè la regola di l'Hopital registra correttamente il limite per difetto/eccesso).
ii) Se \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0*} g(x) = -\infty\) (come sostanzialmente avviene nel caso in questione), sono ancora verificate le ipotesi del teorema di l'Hopital.
Supponiamo inoltre che, come nel caso dell'esempio di Palliit,
\[
(3) \qquad \lim_{x\to 0^+} f'(x) = \lim_{x\to 0^+} g'(x) = +\infty.
\]
Vediamo subito che se ad esempio si ha \(g(x) = f(x) + h(x)\), con
\[
h(x) > 0,\quad h'(x) > 0\qquad \forall x\in (0,b)
\]
(ovviamente \(h\) dovrà essere limitata oppure un infinito di ordine inferiore a \(g\) per \(x\to 0^+\)), si ha che
\[
f(x) < f(x) + h(x) = g(x)\quad \Longrightarrow\quad \frac{f(x)}{g(x)} > 1\quad (\text{poiché}\ f,g < 0),
\]
\[
f'(x) < f'(x) + h'(x) = g'(x) \quad \Longrightarrow\quad \frac{f'(x)}{g'(x)} < 1\quad (\text{poiché}\ f',g' > 0),
\]
in un opportuno intorno destro di \(0\).
In questo caso si ha l'inversione dei comportamenti eccesso/difetto, come mostrato nell'esempio proposto.
Grazie Rigel, chiarissimo e convincente.
"Rigel":
Vediamo se si riesce a chiarire la questione.
Mi sembra che tu ci sia riuscito benissimo. Bello