Calcolo di limite in forma indeterminata: anomalia.
Ciao a tutti.
Sto studiando il calcolo dei limiti di successioni nelle forme indeterminate.
Mi è capitato il limite nella forma indeterminata inf-inf di questa differenza di radicali:
$ root(3)(n^3 + n^2) - root(3)(n^3) $
Questo limite è 1/3.
Ho fatto vari tentativi per togliere l'indeterminazione (senza l'utilizzo di teoremi di analisi che vanno oltre lo studio del limite di funzioni - che è il punto a cui sono attualmente) e l'unico che mi è riuscito è il seguente. Sono convinto della correttezza di ogni passaggio.. purtroppo il limite che mi viene fuori è 1, non 1/3 !
$ root(3)(n^3 + n^2) - root(3)(n^3) = (n^3 + n^2)^(1/3) - n$
$ (n^3 + n^2)^(1/3) - n = ((n^3 + n^2)^(1/3) - n) * (n^3 + n^2)^(2/3)/(n^3 + n^2)^(2/3) =$
$ = ((n^3 + n^2)^(1/3) * (n^3 + n^2)^(2/3) - n * (n^3 + n^2)^(2/3))/(n^3 + n^2)^(2/3) =$
$ = (n^3 + n^2 - n ((n^3 + n^2)^2)^(1/3))/(((n^3 + n^2)^2)^(1/3)) = (n^3 + n^2 - n (n^6 + 2n^5 + n^4)^(1/3))/((n^6 + 2n^5 + n^4)^(1/3)) = $
$ = (n^3 + n^2 - n ((n^6) (1 + 2/n + 1/(n^2)))^(1/3))/(((n^6) (1 + 2/n + 1/(n^2)))^(1/3)) = (n^3 + n^2 - n^3 (1 + 2/n + 1/(n^2))^(1/3))/(n^2 (1 + 2/n + 1/(n^2))^(1/3)) -> 1$
Qualcuno saprebbe dirmi dove ho sbagliato? Non riesco proprio a risolvere questo dilemma!
E quale sarebbe il procedimento giusto per dimostrare che il limite è 1/3 ?
Grazie mille in anticipo.
Sto studiando il calcolo dei limiti di successioni nelle forme indeterminate.
Mi è capitato il limite nella forma indeterminata inf-inf di questa differenza di radicali:
$ root(3)(n^3 + n^2) - root(3)(n^3) $
Questo limite è 1/3.
Ho fatto vari tentativi per togliere l'indeterminazione (senza l'utilizzo di teoremi di analisi che vanno oltre lo studio del limite di funzioni - che è il punto a cui sono attualmente) e l'unico che mi è riuscito è il seguente. Sono convinto della correttezza di ogni passaggio.. purtroppo il limite che mi viene fuori è 1, non 1/3 !
$ root(3)(n^3 + n^2) - root(3)(n^3) = (n^3 + n^2)^(1/3) - n$
$ (n^3 + n^2)^(1/3) - n = ((n^3 + n^2)^(1/3) - n) * (n^3 + n^2)^(2/3)/(n^3 + n^2)^(2/3) =$
$ = ((n^3 + n^2)^(1/3) * (n^3 + n^2)^(2/3) - n * (n^3 + n^2)^(2/3))/(n^3 + n^2)^(2/3) =$
$ = (n^3 + n^2 - n ((n^3 + n^2)^2)^(1/3))/(((n^3 + n^2)^2)^(1/3)) = (n^3 + n^2 - n (n^6 + 2n^5 + n^4)^(1/3))/((n^6 + 2n^5 + n^4)^(1/3)) = $
$ = (n^3 + n^2 - n ((n^6) (1 + 2/n + 1/(n^2)))^(1/3))/(((n^6) (1 + 2/n + 1/(n^2)))^(1/3)) = (n^3 + n^2 - n^3 (1 + 2/n + 1/(n^2))^(1/3))/(n^2 (1 + 2/n + 1/(n^2))^(1/3)) -> 1$
Qualcuno saprebbe dirmi dove ho sbagliato? Non riesco proprio a risolvere questo dilemma!
E quale sarebbe il procedimento giusto per dimostrare che il limite è 1/3 ?
Grazie mille in anticipo.
Risposte
Dovresti moltiplicare per il falso quadrato:
$root(3)((n^3 + n^2)^2)+root(3)(n^6)+root(3)(n^3(n^3 + n^2))$
$root(3)((n^3 + n^2)^2)+root(3)(n^6)+root(3)(n^3(n^3 + n^2))$
Grazie Speculor per la dritta. 
Riguardo all'errore nel mio procedimento io credo che ci sia qualche passo sbagliato nel passaggio a limite, perché tutto il resto è semplice elementare algebra! Quindi a meno di una svista nei calcoli algebrici, l'errore deve essere in qualche considerazione sulla convergenza/divergenza dei termini.
Tu cosa ne pensi?
Riguardo all'errore nel mio procedimento io credo che ci sia qualche passo sbagliato nel passaggio a limite, perché tutto il resto è semplice elementare algebra! Quindi a meno di una svista nei calcoli algebrici, l'errore deve essere in qualche considerazione sulla convergenza/divergenza dei termini.
Tu cosa ne pensi?
Oppure osserva che
$root(3)(n^3+n^2)-root(3)(n^3)=root(3)(n^3*(1+1/n))-n=n*root(3)(1+1/n)-n=n*(root(3)(1+1/n)-1)=((1+1/n)^(1/3)-1)/(1/n) text { }AAninNN$,
ed usa poi in modo opportuno i seguenti ausili:
1)Teorema di congiunzione tra i limiti delle successioni numeriche e quelli delle funzioni reali d'una variabile reale.
2)Il fatto che,in merito a queste ultime,è noto come $lim_(x->0)((1+x)^k-1)/(x)=k$.
Se questi argomenti non ti sono invece ancora noti,
ho paura che tu sia in effetti costretto a quella miriade di passaggi algebrici già consigliati:
comunque una verità,mi sà,è che,
in entrambe le possibili scelta didattiche dell'ordine cronologico d'introduzione delle due tipologie di limite,
ci sono piccoli pro e contro teorici e pratici che si risolvono solo quando alla fine i due argomenti si ricongiungono
(nel caso,se ricordo bene,dovrai portare un pò di pazienza prima che ciò accada!)..
Saluti dal web.
$root(3)(n^3+n^2)-root(3)(n^3)=root(3)(n^3*(1+1/n))-n=n*root(3)(1+1/n)-n=n*(root(3)(1+1/n)-1)=((1+1/n)^(1/3)-1)/(1/n) text { }AAninNN$,
ed usa poi in modo opportuno i seguenti ausili:
1)Teorema di congiunzione tra i limiti delle successioni numeriche e quelli delle funzioni reali d'una variabile reale.
2)Il fatto che,in merito a queste ultime,è noto come $lim_(x->0)((1+x)^k-1)/(x)=k$.
Se questi argomenti non ti sono invece ancora noti,
ho paura che tu sia in effetti costretto a quella miriade di passaggi algebrici già consigliati:
comunque una verità,mi sà,è che,
in entrambe le possibili scelta didattiche dell'ordine cronologico d'introduzione delle due tipologie di limite,
ci sono piccoli pro e contro teorici e pratici che si risolvono solo quando alla fine i due argomenti si ricongiungono
(nel caso,se ricordo bene,dovrai portare un pò di pazienza prima che ciò accada!)..
Saluti dal web.
"federico.hdt":
$(n^3+n^2-n^3(1+2/n+1/(n^2))^(1/3))/(n^2(1+2/n+1/(n^2))^(1/3))->1$
Infatti, il procedimento algebrico dovrebbe essere corretto. Viceversa, non è giusto il passaggio evidenziato. Siccome vale il seguente sviluppo in serie:
$(1+2/n+1/(n^2))^(1/3)=1+2/3*1/n+o(1/n)$ per $nto+oo$
il calcolo del limite risulta corretto. In pratica, hai trascurato gli infinitesimi di quella espressione. In ogni modo, se si decide di utilizzare gli sviluppi in serie, tanto vale farlo subito, senza ricorrere agli artifici algebrici. Se proprio si vuole ricorrere ad un artificio algebrico, allora deve essere tale da non richiedere sviluppi in serie successivi.
Grazie a tutti per l'aiuto, è stata una discussione molto utile e interessante per me.
Ciao!
Ciao!
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