Calcolo di limite in due variabili

[st1led]

Ciao ragazzi, torno a postare dopo un po' di assenza in quanto sto un pochino sbattendo la testa nei miei studi di analisi: questa volta il problema riguarda il calcolo di limiti in due variabili. Procediamo per gradi esponendo il ragionamento (graditissime le correzioni su miei errori/imprecisioni presenti che sicuramente sono all'origine di tutti i dubbi esposti di seguito):

Poniamo di voler calcolare il limite $L1: lim_((x,y)->(0,0))f(x, y)$.

Potremmo risolvere il limite in coordinate polari: poniamo $x=\rho*cos(\theta)$ e $y=\rho*sen(\theta)$, da cui

${(x->0),(y->0):} \harr {(\rho*cos(\theta)->0),(\rho*sen(\theta)->0):} \harr {(\rho->0 vv cos(\theta)->0),(\rho->0 vv sen(\theta)->0):} \harr \rho->0 $ indipendentemente dal valore di $\theta$. Questa dimostrazione è un po' improvvisata in quanto non l'ho trovata su nessun libro, però a occhio mi sembrerebbe andar bene.

Quindi al posto del limite iniziale in coordinate cartesiane potrei risolvere il limite $L2: lim_((\rho->0))f(\rho*cos(\theta), \rho*sen(\theta)$.

E' corretto a questo punto affermare che $L1 = l \harr L2 = l \AA\theta$ e che $\nexists L1 \harr \nexists L2$? In altre parole, posso io risolvere $L2$ e stabilire che:

1) Se $L2$ esiste ed ha sempre lo stesso valore $l$ indipendentemente da $\theta$, allora anche $L1$ esiste ed è uguale a $l$?
2) Se $L2$ non esiste (cioè il suo valore dipende da $\theta$) allora anche $L1$ non esiste?[/list:u:vtw3lt0x]

Wikipedia sembrerebbe darmi ragione, almeno sul punto 1, ma per queste sappiamo come possa non essere affidabile e pertanto chiedo consiglio a voi.




L'obiezione che è stata mossa a questo mio ragionamento è la seguente [Tra parentesi quadre il mio commento]:

Consideriamo il Teorema delle Restrizioni: esso implica che un limite esiste ed è uguale a un certo valore $l$ se e solo se esiste ed è uguale ad $l$ lungo tutte le direzioni (cioè i sottoinsiemi $B$ del teorema) possibili.
[Fin qui, ineccepibile]

Risolvere il limite in coordinate polari e, ad esempio, trovarlo finito ed uguale ad $l$ indipendentemente da $\theta$ vuol dire solamente assicurarsi che quel limite sia uguale e pari ad $l$ solamente lungo tutte le direzioni di tipo lineare (cioè rette) al variare di $\theta$, e non lungo tutte le direzioni effettivamente possibili come invece vuole il teorema, inclusi quindi andamenti polinomiali o di altro tipo che potrebbero quindi "andare a zero in modo strano".
[Io sarò un po' testardo, ma questo non mi convince per niente: il fatto di aver trovato un valore $l$ che non dipende da $\theta$ dovrebbe assicurarmi che io sto considerando tutte le direzioni effettivamente possibili, anche ad esempio un andamento polinomiale, il cui $\theta$ cambierebbe man mano che \rho tende a zero: questo è assicurato proprio dal fatto che il limite risolto in coordinate polari è lo stesso qualunque sia il valore di $\theta$]

Quindi, le relazione che ho scritto sopra ($L1 = l \harr L2 = l \AA\theta$ non sarebbe più una doppia implicazione, ma solo un'implicazione semplice e varrebbe quindi solo che

$L1 = l -> L2 = l \AA\theta$ e che $\nexists L1 \harr \nexists L2$

Di conseguenza, io risolvendo il limite $L2$ in coordinate polari:


1) Se mi accorgo che il limite $L2$ non esiste (perchè ad esempio è dipendente dal valore di $\theta$) , posso concludere che neanche $L1$ esiste
2) Se mi accorgo che il limite $L2$ esiste ed è uguale ad $l$ indipendentemente da $\theta$, io comunque non posso dire assolutamente nulla di certo riguardo il limite $L1$ originario[/list:u:vtw3lt0x]



Domandona finale, ovviamente scontata: qual è il ragionamento corretto? Ringrazio tutti in anticipo per la pazienza dedicata alla lettura e alle eventuali risposte :)

[st1led]

Scusate se dopo un po' riuppo il thread ragazzi, ma nessuno ha anche solo una minima idea di come procedere? In ogni caso, riuscire a capire un modo per risolvere un limite in due variabili (e in ogni caso sto circoscrivendo l'applicazione di quanto detto solo ad alcuni casi: per semplicità non sto vedendo cosa succede se $x$ e/o $y$ tendono a infinito) potrebbe risultare molto utile.

In ogni caso, è gradito anche un consiglio riguardo un testo di riferimento valido che tratti di analisi in più variabili, con cui provare a fugare questo e altri mille dubbi con cui altrimenti starei qua a tediarvi :)

[regim]

"st1led":

1) Se mi accorgo che il limite $L2$ non esiste (perchè ad esempio è dipendente dal valore di $\theta$) , posso concludere che neanche $L1$ esiste
2) Se mi accorgo che il limite $L2$ esiste ed è uguale ad $l$ indipendentemente da $\theta$, io comunque non posso dire assolutamente nulla di certo riguardo il limite $L1$ originario[/list:u:268xx9qh]

E' un si per entrambe le tue conclusioni.
Quando cerchi un limite in questi casi, é corretto fare le sostituzioni che hai fatto tu nel caso in cui giá sai che il limite esiste, altrimenti é solo indicativo il fatto che il limite esiste e al variare di $theta$ non cambi, ad esempio, nel caso da te proposto, io posso costruire una funzione che in ogni direzione che incrocia il punto Po verso cui tende P(variabile indipendente) converge verso lo stesso limite, ma in ogni direzione a partire da 0 gradi abbia questo valore $1/(theta-2*pi)$ nel solo punto che ha distanza da Po pari a $ rho = (theta-2*pi)$ questa funzione non converge in Po, perché in ognin intorno di Po c'é comunque un maledetto valore che sta fuori, ma ve n'é solo uno per ogni direzione che passa per Po, quindi in ogni direzione potrebbe anche convergere, il teorema che hai postato ci dice che globalmente, diciamo cosí, non converge.
Comunque il teorema che hai postato é fuorviante, quando dice in ogni direzione intende per qualunque insieme di punti che abbia Po come punto di accumulazione.