Calcolo di limite con logaritmo
Ciao,
l'eserciziario che sto leggendo propone il seguente calcolo di limite di funzione
\[
\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{(\log x)^{\log(\log x)}}{x}}
\]
l'esercizio è svolto dall'autore ponendo $y=\log x$ e $x=e^y$. Però l'ultimo passaggio è il seguente
\[
\lim_{y\rightarrow +\infty}{e^{\log^2 y-y}}=0
\]
Come si può affermare che l'esponente tende a $-\infty$? Si presenta la forma di indecisione $\infty-\infty$.
Ho provato a raccogliere quello che ritengo il termine dominante, cioè la $y$, devo allora verificare il seguente limite
\[
\lim_{y\rightarrow +\infty}{-\frac{\log^2 y}{y}}=0
\]
Ho controllato con Geogebra e tende a 0, però non riesco a usare limiti notevoli che mi permettano di affermare che quel risultato è corretto, per esempio potrei scrivere
\[
-\lim_{y\rightarrow +\infty}{\frac{\log y}{y}\cdot\log y }=0
\]
dove il primo fattore tende a 0 (usando la scala degli infiniti per il calcolo diretto) ma rimane $0\cdot\infty$. Avete un suggerimento?
l'eserciziario che sto leggendo propone il seguente calcolo di limite di funzione
\[
\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{(\log x)^{\log(\log x)}}{x}}
\]
l'esercizio è svolto dall'autore ponendo $y=\log x$ e $x=e^y$. Però l'ultimo passaggio è il seguente
\[
\lim_{y\rightarrow +\infty}{e^{\log^2 y-y}}=0
\]
Come si può affermare che l'esponente tende a $-\infty$? Si presenta la forma di indecisione $\infty-\infty$.
Ho provato a raccogliere quello che ritengo il termine dominante, cioè la $y$, devo allora verificare il seguente limite
\[
\lim_{y\rightarrow +\infty}{-\frac{\log^2 y}{y}}=0
\]
Ho controllato con Geogebra e tende a 0, però non riesco a usare limiti notevoli che mi permettano di affermare che quel risultato è corretto, per esempio potrei scrivere
\[
-\lim_{y\rightarrow +\infty}{\frac{\log y}{y}\cdot\log y }=0
\]
dove il primo fattore tende a 0 (usando la scala degli infiniti per il calcolo diretto) ma rimane $0\cdot\infty$. Avete un suggerimento?
Risposte
Se vuoi farla proprio ignorante usa de l'hopital due volte sul penultimo limite 
Ciao, ma l'autore perché si è fermato a questo punto?
\[
\lim_{y\rightarrow +\infty}{e^{\log^2 y-y}}=0
\]
A me non sembra evidente che il limite sia 0. È un esercizio presente nel capitolo sui limiti di funzione dove non è richiesto l'uso delle derivate.
\[
\lim_{y\rightarrow +\infty}{e^{\log^2 y-y}}=0
\]
A me non sembra evidente che il limite sia 0. È un esercizio presente nel capitolo sui limiti di funzione dove non è richiesto l'uso delle derivate.
Ciao tetravalenza,
Beh, è vero $\AA n $ che si ha:
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\log^n x}{x}= 0 $
Per $n < 0 $ è ovvio. Almeno graficamente poi è piuttosto evidente ed i casi particolari $n = 0 $ e $n = 1 $ si verificano subito: la funzione logaritmo rimane sempre sotto la bisettrice del primo e del terzo quadrante, la funzione $y = x $ va all'infinito più rapidamente della funzione logaritmo.
"tetravalenza":
A me non sembra evidente che il limite sia 0
Beh, è vero $\AA n $ che si ha:
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\log^n x}{x}= 0 $
Per $n < 0 $ è ovvio. Almeno graficamente poi è piuttosto evidente ed i casi particolari $n = 0 $ e $n = 1 $ si verificano subito: la funzione logaritmo rimane sempre sotto la bisettrice del primo e del terzo quadrante, la funzione $y = x $ va all'infinito più rapidamente della funzione logaritmo.
"pilloeffe":
Beh, è vero $\AA n $ che si ha:
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\log^n x}{x}= 0 $
OK grazie
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