Calcolo di limite

[Luca979]

buonasera ragazzi, non so come calcolare il seguente limite:

$ lim_(x -> 0) ((x-sin xe^(x^2/6))/((1-cos x^2)sin x)) $


grazie mille in anticipo

[gugo82]

Cosa hai provato?

[Luca979]

Avevo diviso la frazione in due frazioni, nella prima ho applicato il limite notevole del seno, e nella seconda ho semplificato il seno al numeratore e al denominatore per poi "unire" di nuovo le due frazioni... ma non sono sicuro che si possano fare queste operazioni..

[pilloeffe]

Ciao luca1234,

Benvenuto sul forum!

Il testo del limite proposto non è chiaro, nel senso che non si capisce se l'esponenziale è argomento del seno oppure (come credo) no, quindi in quest'ultimo caso il limite proposto (togliendo quella inutile parentesi esterna) è il seguente:

$\lim_{x \to 0} (x - (sin x)e^(x^2/6))/((1 - cos x^2)sin x) = \lim_{x \to 0} (x - e^(x^2/6) sin x)/((1 - cos x^2)sin x)$

Se questo è il caso, come prima mossa dividerei tutto per $x $, poi procederei in modo misto con gli sviluppi in serie al numeratore (dove si hanno cancellazioni) e coi due limiti notevoli a denominatore:

$ \lim_{x \to 0} (x - (sin x)e^(x^2/6))/((1 - cos x^2)sin x) = \lim_{x \to 0} (1 - e^(x^2/6)\cdot sin x/x)/((1 - cos x^2) \cdot sin x/x) = ... = 1/90 $

[Luca979]

Si hai ragione l'esponenziale non è argomento del seno (scusa è la prima volta che scrivo devo imparare), comunque il mio professore dice che questo limite è uguale a 0

[Luca979]

No scusa ho sbagliato io è quello il risultato... grazie mille!!