Calcolo di limite
salve ragazzi!
mi dite se ho calcolato in modo coretto questo limite?
grazie!
$ lim_(xrarr 0)(1/sin^2x-1/x^2) $
ho messo denominatore comune:
$ lim_(xrarr 0)((x^2-sin^2x)/(x^2sin^2x)) $
raccolgo a numeratore la x di grado massimo:
$ lim_(xrarr 0)((x^2(1-(sin^2x)/x))/(x^2sin^2x)) $
infine ottengo $ lim_(xrarr 0)(1/sin^2x)=oo $
grazie!
mi dite se ho calcolato in modo coretto questo limite?
grazie!
$ lim_(xrarr 0)(1/sin^2x-1/x^2) $
ho messo denominatore comune:
$ lim_(xrarr 0)((x^2-sin^2x)/(x^2sin^2x)) $
raccolgo a numeratore la x di grado massimo:
$ lim_(xrarr 0)((x^2(1-(sin^2x)/x))/(x^2sin^2x)) $
infine ottengo $ lim_(xrarr 0)(1/sin^2x)=oo $
grazie!
Risposte
No!
Comunque hai fatto bene a ricondurre a denominatore comune, ora a numeratore hai una differenza, questo comporta il coinvolgimento di termini successivi ad $x^2$, in quanto si elide con $sin^2 (x)~~x^2$, pertanto bisogna uno sviluppo in serie più accurato dell'asintotico per $sin^2 (x) $ ossia $sin^2 (x)=x^2-x^4/3+o (x^4) $ sostituendo avrai:
$lim_(x->0)(x^2-x^2+x^4/3+o (x^4))/(x^2sin^2 (x)) $ , inoltre a denominatore hai semplicemente $x^2sin^2 (x) ~~x^4$, quindi hai $lim_(x->0)(x^4/3+o (x^4))/x^4=lim_(x->0)x^4/(3x^4)=1/3$
Comunque hai fatto bene a ricondurre a denominatore comune, ora a numeratore hai una differenza, questo comporta il coinvolgimento di termini successivi ad $x^2$, in quanto si elide con $sin^2 (x)~~x^2$, pertanto bisogna uno sviluppo in serie più accurato dell'asintotico per $sin^2 (x) $ ossia $sin^2 (x)=x^2-x^4/3+o (x^4) $ sostituendo avrai:
$lim_(x->0)(x^2-x^2+x^4/3+o (x^4))/(x^2sin^2 (x)) $ , inoltre a denominatore hai semplicemente $x^2sin^2 (x) ~~x^4$, quindi hai $lim_(x->0)(x^4/3+o (x^4))/x^4=lim_(x->0)x^4/(3x^4)=1/3$
No!
Comunque hai fatto bene a ricondurre a denominatore comune, ora a numeratore hai una differenza, questo comporta il coinvolgimento di termini successivi ad $x^2$, in quanto si elide con $sin^2 (x)~~x^2$, pertanto bisogna uno sviluppo in serie più accurato dell'asintotico per $sin^2 (x) $ , altrimenti ricadi nell'indeterminazione $0/0$, ossia $sin^2 (x)=x^2-x^4/3+o (x^4) $ sostituendo avrai:
$lim_(x->0)(x^2-x^2+x^4/3+o (x^4))/(x^2sin^2 (x)) $ , inoltre a denominatore hai semplicemente $x^2sin^2 (x) ~~x^4$, quindi hai $lim_(x->0)(x^4/3+o (x^4))/x^4=lim_(x->0)x^4/(3x^4)=1/3$
Ovviamente con $o (x^4) $ sono raccolti tutti i termini dello sviluppo superiori di grado ad $x^4$ , pertanto come infinitesimi trascurabili ai fini del calcolo del limite.
Comunque hai fatto bene a ricondurre a denominatore comune, ora a numeratore hai una differenza, questo comporta il coinvolgimento di termini successivi ad $x^2$, in quanto si elide con $sin^2 (x)~~x^2$, pertanto bisogna uno sviluppo in serie più accurato dell'asintotico per $sin^2 (x) $ , altrimenti ricadi nell'indeterminazione $0/0$, ossia $sin^2 (x)=x^2-x^4/3+o (x^4) $ sostituendo avrai:
$lim_(x->0)(x^2-x^2+x^4/3+o (x^4))/(x^2sin^2 (x)) $ , inoltre a denominatore hai semplicemente $x^2sin^2 (x) ~~x^4$, quindi hai $lim_(x->0)(x^4/3+o (x^4))/x^4=lim_(x->0)x^4/(3x^4)=1/3$
Ovviamente con $o (x^4) $ sono raccolti tutti i termini dello sviluppo superiori di grado ad $x^4$ , pertanto come infinitesimi trascurabili ai fini del calcolo del limite.
ciao, francicko
tutto chiaro grazie per il tuo aiuto
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