Calcolo di $lim_(r -> 0^+)(Sup(abs(f(D(z_0,r)))))/r$

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Sia $D(z_0,r)$ il disco chiuso complesso di centro $z_0$ e raggio $r$ e sia la funzione $f : D(z_0,r) rarr C$ tale che $f(z_0)=0$

Come posso calcolare il seguente limite: $lim_(r -> 0^+)(Sup(abs(f(D(z_0,r)))))/r$

Io ho provato a ragionare così:

Aggiungendo l'ulteriore ipotesi che $f$ sia olomorfa, si ha che $f$ ha il massimo modulo sul bordo di $D$, per cui posto

$abs(f(z_max))=Sup(abs(f(D(z_0,r))))$ posso scrivere $z_max=z_0+r*e^(i*t)$ e calcolo

$lim_(r -> 0^+)(Sup(abs(f(D(z_0,r)))))/r=lim_(r -> 0^+)abs(f(z_max))/r=lim_(r -> 0^+)abs(f(z_max))/abs(r*e^(i*t))=lim_(z_max -> z_0)abs(f(z_0+(z_max-z_0)))/abs(z_max-z_0)=lim_(z_max -> z_0)abs(f(z_0+(z_max-z_0))-0)/abs(z_max-z_0)=lim_(z_max -> z_0)abs(f(z_0+(z_max-z_0))-f(z_0))/abs(z_max-z_0)= abs(f^((1))(z_0)) $

Pensate che sia giusto come ragionamento?
Si più porre un'ipotesi più debole dell'olomorfia?

Grazie

[Rigel1]

Se \(f\) non è olomorfa non penso tu possa fare granché.
Esagerando, prendi \(f(z) = e^{1/z}\) per \(z \neq 0\), \(f(0) = 0\) (questa ha una discontinuità essenziale in \(0\), ma direi che puoi costruire esempi anche con \(f\) continua senza grossi problemi).

[randomize]

ritieni giusti i calcoli che ho fatto ovvero che il risultato del limite è $abs(f^((1))(z_0))$ ?

[Rigel1]

L'idea mi sembra corretta (si poteva partire anche dalla rappresentazione in serie di potenze), anche se non è formalizzata in maniera del tutto corretta. (\(z_{max}\) dipende da \(r\), andrebbero sistemati un po' i passaggi.)

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Grazie del parere Rigel, sei stato gentile