Calcolo di integrali con il metodo dei residui
Ciao a tutti. L'esercizio mi chiede di calcolare
\(\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{xsenx}{1+x^2} \)
La prima cosa che faccio è porre \(\displaystyle f(z)=\frac{z}{1+z^2} \) che ha come singolarità isolate che sono poli del primo ordine, \(\displaystyle i \)e \(\displaystyle -i \)
Dal momento che \(\displaystyle e^{iz}=cosz+i senz \), ciò che faccio è studiare la funzione \(\displaystyle g(z)=e^{iz}f(z) \).
Considero D il semicerchio di centro O e raggio \(\displaystyle R>2 \) in modo tale da contenere il polo \(\displaystyle i \)ed applicare il teorema dei residui a \(\displaystyle g(z) \). Infatti
\(\displaystyle \int_D g(z) dz = 2\pi i Res[g,i]=.....= i\pi e^{-1} \)
D'altro canto posso separare l'integrale come
\(\displaystyle \int_{-R}^R g(x) dx + \int_0^π g(γ(θ))γ'(θ) dθ \)
dove \(\displaystyle γ(θ)=Re^{iθ} \) ovvero è la semicirconferenza di raggio R e centro O
Il secondo integrale è proprio \(\displaystyle \int_0^\pi \frac{e^{iRe^{iθ}}*Re^{iθ}*iRe^{iθ} }{1+R^2e^{2iθ}} dθ = \int_0^\pi \frac{iR^2*e^{2iθ+i*R*e^{iθ}}}{1+R^2*e^{2iθ}} dθ \)
Ora devo provare (il mio libro usa sempre questo procedimento) che l'integrale \(\displaystyle \int_o^\pi \) tende a zero quando R tende a infinito e questo viene preceduto da una maggiorazione, ovvero
\(\displaystyle | \int_0^\pi (....)| \leq \int_0^\pi |(.....)| = \int_0^\pi \frac{R^2}{R^2+1} = \frac{R^2\pi}{R^2+1} \) che NON TENDE A ZERO QUANDO R TENDE A \(\displaystyle +\infty \)
Domanda: come proseguo?
\(\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{xsenx}{1+x^2} \)
La prima cosa che faccio è porre \(\displaystyle f(z)=\frac{z}{1+z^2} \) che ha come singolarità isolate che sono poli del primo ordine, \(\displaystyle i \)e \(\displaystyle -i \)
Dal momento che \(\displaystyle e^{iz}=cosz+i senz \), ciò che faccio è studiare la funzione \(\displaystyle g(z)=e^{iz}f(z) \).
Considero D il semicerchio di centro O e raggio \(\displaystyle R>2 \) in modo tale da contenere il polo \(\displaystyle i \)ed applicare il teorema dei residui a \(\displaystyle g(z) \). Infatti
\(\displaystyle \int_D g(z) dz = 2\pi i Res[g,i]=.....= i\pi e^{-1} \)
D'altro canto posso separare l'integrale come
\(\displaystyle \int_{-R}^R g(x) dx + \int_0^π g(γ(θ))γ'(θ) dθ \)
dove \(\displaystyle γ(θ)=Re^{iθ} \) ovvero è la semicirconferenza di raggio R e centro O
Il secondo integrale è proprio \(\displaystyle \int_0^\pi \frac{e^{iRe^{iθ}}*Re^{iθ}*iRe^{iθ} }{1+R^2e^{2iθ}} dθ = \int_0^\pi \frac{iR^2*e^{2iθ+i*R*e^{iθ}}}{1+R^2*e^{2iθ}} dθ \)
Ora devo provare (il mio libro usa sempre questo procedimento) che l'integrale \(\displaystyle \int_o^\pi \) tende a zero quando R tende a infinito e questo viene preceduto da una maggiorazione, ovvero
\(\displaystyle | \int_0^\pi (....)| \leq \int_0^\pi |(.....)| = \int_0^\pi \frac{R^2}{R^2+1} = \frac{R^2\pi}{R^2+1} \) che NON TENDE A ZERO QUANDO R TENDE A \(\displaystyle +\infty \)
Domanda: come proseguo?
Risposte
Per cortesia, elimina quell' "Urgente" dal titolo del thead
Fatto, qualcuno mi aiuta?
In realtà sbagli la maggiorazione: infatti
$$e^{iR e^{i\theta}+2i\theta}=e^{i(R\sin\theta+2\theta)}\cdot e^{-R\cos\theta}$$
e passando ai moduli
$$|e^{iR e^{i\theta}+2i\theta}|=e^{-R\cos\theta}$$
e questa cosa è infinitesima e si "mangia" le potenze di $R$ che hai scritto sopra, e quindi il limite è zero.
$$e^{iR e^{i\theta}+2i\theta}=e^{i(R\sin\theta+2\theta)}\cdot e^{-R\cos\theta}$$
e passando ai moduli
$$|e^{iR e^{i\theta}+2i\theta}|=e^{-R\cos\theta}$$
e questa cosa è infinitesima e si "mangia" le potenze di $R$ che hai scritto sopra, e quindi il limite è zero.
"ciampax":
In realtà sbagli la maggiorazione: infatti
$$e^{iR e^{i\theta}+2i\theta}=e^{i(R\sin\theta+2\theta)}\cdot e^{-R\cos\theta}$$
e passando ai moduli
$$|e^{iR e^{i\theta}+2i\theta}|=e^{-R\cos\theta}$$
e questa cosa è infinitesima e si "mangia" le potenze di $R$ che hai scritto sopra, e quindi il limite è zero.
Hai ragione, ho dimenticato un pezzo, però anche tu hai sbagliato...
in realtà
$$e^{iR e^{i\theta}+2i\theta}=e^{i(R\cos\theta+2\theta)}\cdot e^{-R\sin\theta}$$
Ora è perfetto.
Volevo chiederti anche un dubbio che ho su un altro esercizio, posso postare lo stesso quì?
Sì, pensavo ad una cosa e ne ho scritta un altra. Il senso è quello comunque. Solo che ora che ci penso mi sa che sta cosa non va bene: visto che $0\le\sin\theta\le 1$ sull'intervallo di integrazione, allora $e^{-R}\le e^{-R\sin\theta}\le 1$ e quindi ritorni punto e a capo. Mmmmmm....
E qual è il problema? E' comunque una quantità indipendente da R
Che così facendo arrivi di nuovo a quello che hai scritto, cioè l'esponenziale sparisce e ti rimane, comunque, quel rapporto che non è infinitesimo.
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