Calcolo di integrale con limite e successione di funzioni
ciao! devo fare questo esercizio, l'ho svolto ma ho dei forti dubbi sul fatto che sia giusto. devo calcolare
$lim_(n->+oo)int_(RR^2)e^-(x^2+y^2)(1+(x^2+y^2)/n)$
utilizzando il teorema di convergenza dominata di lebesgue:
1. $e^-(x^2+y^2)(1+(x^2+y^2)/n)$ converge a $e^-(x^2+y^2)$
2. $e^-(x^2+y^2)(1+(x^2+y^2)/n)$ è sommabile alla lebesgue perchè continua, quindi riemann integrabile e quindi anche lebesgue integrabile
3. la funzione che domina è appunto $1+(x^2+y^2)$ che è sommabile alla lebesgue
a questo punto la richiesta è uguale a calcolare l'integrale su R2 di $e^-(x^2+y^2)$ che si calcola con le sfere
mi dite se è giusto per favore? esiste un modo più semplice di procedere? potevo integrare direttamente sulle sfere e dopo fare il limite?
grazie mille
$lim_(n->+oo)int_(RR^2)e^-(x^2+y^2)(1+(x^2+y^2)/n)$
utilizzando il teorema di convergenza dominata di lebesgue:
1. $e^-(x^2+y^2)(1+(x^2+y^2)/n)$ converge a $e^-(x^2+y^2)$
2. $e^-(x^2+y^2)(1+(x^2+y^2)/n)$ è sommabile alla lebesgue perchè continua, quindi riemann integrabile e quindi anche lebesgue integrabile
3. la funzione che domina è appunto $1+(x^2+y^2)$ che è sommabile alla lebesgue
a questo punto la richiesta è uguale a calcolare l'integrale su R2 di $e^-(x^2+y^2)$ che si calcola con le sfere
mi dite se è giusto per favore? esiste un modo più semplice di procedere? potevo integrare direttamente sulle sfere e dopo fare il limite?
grazie mille
Risposte
No non e' del tutto giusto.
$e^-(x^2+y^2)(1+(x^2+y^2)/n)$
E' sommabile alla Lebesgue perche' continua e bla bla bla... , ma su $RR^2$ non basta la continuita'! Bisogna far vedere che la funzione e' effettivamente integrabile in senso improprio (il termine improprio potrebbe suonarti strano se hai affrontato la teoria dell'integrazione secondo Lebesgue con l'assiomatizzazione delle funzioni a scala in cui si definisce l'integrale prima su $RR$ e poi su sotto-insiemi limitati in un secondo momento). Qui' non c'e' molto da dimostrare visto che $e^(-x^2)$ va a zero "come un missile", ma bisogna comunque scrivere (all'esame) che l'integrabilita' e' assicurata dall'ordine di infinitesimo all'infinito. Qui' piu' che altro e' una cosa da precisare piu' che un errore.
Quello che proprio non va bene e' la scelta della funzione che domina:
$1+(x^2+y^2)$
Non e' integrabile su $RR^2$! Quindi non va' bene per usare il th. di Lebesgue.
La funzione da usare e' invece:
$ e^-(x^2+y^2) ( 1 + x^2 + y^2 ) $
che invece e' integrabile su tutto $RR^2$.
$e^-(x^2+y^2)(1+(x^2+y^2)/n)$
E' sommabile alla Lebesgue perche' continua e bla bla bla... , ma su $RR^2$ non basta la continuita'! Bisogna far vedere che la funzione e' effettivamente integrabile in senso improprio (il termine improprio potrebbe suonarti strano se hai affrontato la teoria dell'integrazione secondo Lebesgue con l'assiomatizzazione delle funzioni a scala in cui si definisce l'integrale prima su $RR$ e poi su sotto-insiemi limitati in un secondo momento). Qui' non c'e' molto da dimostrare visto che $e^(-x^2)$ va a zero "come un missile", ma bisogna comunque scrivere (all'esame) che l'integrabilita' e' assicurata dall'ordine di infinitesimo all'infinito. Qui' piu' che altro e' una cosa da precisare piu' che un errore.
Quello che proprio non va bene e' la scelta della funzione che domina:
$1+(x^2+y^2)$
Non e' integrabile su $RR^2$! Quindi non va' bene per usare il th. di Lebesgue.
La funzione da usare e' invece:
$ e^-(x^2+y^2) ( 1 + x^2 + y^2 ) $
che invece e' integrabile su tutto $RR^2$.
ottimo! grazie mille per la correzione... si... infatti.. la funzione che maggiora era completamente sbagliata 
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