Calcolo di integrale!!!
Buongiorno! Devo calcolare il seguente integrale:
$f(x)=$$ int_(1)^(x) sqrt(1+t^4) dt $
Qualcuno ha qualche suggerimento? non so dove sbattere la testa anche se per molti potrà sembrare banale...
$f(x)=$$ int_(1)^(x) sqrt(1+t^4) dt $
Qualcuno ha qualche suggerimento? non so dove sbattere la testa anche se per molti potrà sembrare banale...
Risposte
$t^2=sinh y$?
ma questo integrale è quello del film che hanno dato in rai qualche giorno fa? ahahah
Mmm, io invece avevo pensato in partenza di sostituire $t^4=y^2$ e dopodiche trovavo $(settsinh y+y*sqrt(y^2+1))/2$...il problema è che una volta risolto l'integrale devo trovarne la derivata prima...
Aspetta, fammi capire: la richiesta dell'esercizio è "calcolare la derivata prima di $f(x)$"? E allora perché ti calcoli l'integrale? C'è un metodo più immediato:
[tex]$\frac{d}{dx}\left[\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t)\ dt\right]=\beta'(x)\cdot f(\beta(x))-\alpha'(x)\cdot f(\alpha(x))$[/tex]
Ma io dico: ma il teorema fondamentale del calcolo integrale ve lo fanno studiare?
[tex]$\frac{d}{dx}\left[\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t)\ dt\right]=\beta'(x)\cdot f(\beta(x))-\alpha'(x)\cdot f(\alpha(x))$[/tex]
Ma io dico: ma il teorema fondamentale del calcolo integrale ve lo fanno studiare?
Scusa il notevole ritardo ciampax! intanto ti ringrazio, poi la richiesta dell'esercizio è: calcolare la derivata prima del seguente integrale ecc...il discorso è che questo professore vuole che prima si risolva l'integrale PER INTERO, e successivamente se ne calcoli la derivata...se devo essere sincero il tuo metodo fortunatamente l'ho studiato per conto mio ma secondo il professore non può essere utilizzato perchè il procedimento da addottare deve essere quello suo...io mi chiedo invece: perchè devo per forza complicarmi la vita con il suo metodo?
"giuliomas":
Buongiorno! Devo calcolare il seguente integrale:
$f(x)=$$ int_(1)^(x) sqrt(1+t^4) dt $
Qualcuno ha qualche suggerimento? non so dove sbattere la testa anche se per molti potrà sembrare banale...
Io direi che $sqrt( 1 + t^4 )$ non è integrabile elementarmente. Infatti è l'integrale di un differenziale binomio: $x^p * ( beta + alpha x^r )^(s) dx$
il quale è esprimibile mediante funzione elementari se e solo se uno dei seguenti tre numeri è intero: $s$ , $(p + 1)/r$ , $s + (p+1)/r$ (Teorema di Tchebichev).
Nel caso in questione $s = 1/2$ , $(p+1)/r = (0 + 1)/4$ , $s + (p + 1)/r = 1/2 + 1/4$ nessuno dei quali è intero.
Che se lo calcoli il professore questo integrale.

Ma è meglio se controllate quanto ho scritto.
Beh che ci vuole? Con due conti trovi che fa
[tex]\displaystyle _{-2}F_{1}\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{5}{4},-1\right)+x _{-2}F_{1}\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{5}{4},-x^4\right)[/tex]
dove le F sono funzioni ipergeometriche.
Ovviamente scherzo (anche se il risultato è proprio quello!), evidentemente non è così che il professore vuole svolto l'esercizio. Anche se tu dici così, non ti credo, perché non avrebbe alcun senso far calcolare separatamente un integrale e poi una derivata. Piuttosto vuole verificare che tu sappia utilizzare il TFCI.
[tex]\displaystyle _{-2}F_{1}\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{5}{4},-1\right)+x _{-2}F_{1}\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{5}{4},-x^4\right)[/tex]
dove le F sono funzioni ipergeometriche.
Ovviamente scherzo (anche se il risultato è proprio quello!), evidentemente non è così che il professore vuole svolto l'esercizio. Anche se tu dici così, non ti credo, perché non avrebbe alcun senso far calcolare separatamente un integrale e poi una derivata. Piuttosto vuole verificare che tu sappia utilizzare il TFCI.
"giuliomas":
Scusa il notevole ritardo ciampax! intanto ti ringrazio, poi la richiesta dell'esercizio è: calcolare la derivata prima del seguente integrale ecc...il discorso è che questo professore vuole che prima si risolva l'integrale PER INTERO, e successivamente se ne calcoli la derivata...se devo essere sincero il tuo metodo fortunatamente l'ho studiato per conto mio ma secondo il professore non può essere utilizzato perchè il procedimento da addottare deve essere quello suo...io mi chiedo invece: perchè devo per forza complicarmi la vita con il suo metodo?
Come puoi vedere dagli interventi di Seneca ed elgiovo qull'integrale è "difficilerrimo"!

Io direi che non puoi fare altro che usare la "formula" che ti ho scritto.