Calcolo di flusso "uscente"
Ciao ragazzi, ho trovato un esercizio che dice: Data la superficie ellissoidale $ sum -= {(x,y,z} in RR ^3:x^2+y^2/2+z^2=1,zgeq0} $ e il campo vettoriale $ V -= (2x+yz,2y+zx,z^2+2) $ , calcolare il flusso di V "uscente" da $ sum $ (suggerimento: l'area dell'ellisse di semiassi $ a,b $ è $ piab $ ).
Io ho usato il teorema della divergenza ed ho calcolato l'integrale $ int_(0)^(1) int_(-sqrt(2)/2 )^(sqrt(2)/2)int_(-1)^(1) 4+2zdxdydz $. Il problema è che non so cosa farmene del suggerimento. Qualcuno ha qualche idea?
Io ho usato il teorema della divergenza ed ho calcolato l'integrale $ int_(0)^(1) int_(-sqrt(2)/2 )^(sqrt(2)/2)int_(-1)^(1) 4+2zdxdydz $. Il problema è che non so cosa farmene del suggerimento. Qualcuno ha qualche idea?
Risposte
Ciao, non so se dico una scemenza ma se sì spero che qualcuno mi corregga, è da un bel po' che non vedo integrali multipli.
Mi pare che, con gli estremi che hai messo, l'integrale sia esteso ad un parallelepipedo e non al semiellissoide.
Mi sto sbagliando? In caso affermativo ringrazio anticipatamente chiunque mi rettifichi, così approfitto di questa occasione per rivedere un po' di cose.
Mi pare che, con gli estremi che hai messo, l'integrale sia esteso ad un parallelepipedo e non al semiellissoide.
Mi sto sbagliando? In caso affermativo ringrazio anticipatamente chiunque mi rettifichi, così approfitto di questa occasione per rivedere un po' di cose.
@Pallit: Mi sa che hai ragione, c'è qualcosa che non va nell'applicazione del teorema della divergenza.
Grazie per la conferma, @dissonance
Grazie ragazzi, però cercando sul libro il teorema della divergenza, mi dice che si calcola facendo la divergenza del campo e poi integrando negli estremi!
Ciao Controllore, ribadisco: credo che vada bene usare il teorema della divergenza, ma l'integrale è da calcolare riferito al volume del semiellissoide, come l'hai scritto tu è esteso ad un parallelepipedo con le facce perpendicolari agli assi cartesiani.
Allora, forse, devo usare le coordinate polari!
Ma hai capito quale obiezione ti sta sollevando Pallit?
Credo anche io di aver fatto esercizi del genere ma così tanti anni fa che non so proprio aiutare Controllore, vorrei vedere però cosa è rimasto dopo tanto tempo...
Allora se non ho capito male abbiamo un solido limitato superiormente dalla superficie di mezzo elissoide (mi sembra si possa parlare di elissoide di rotazione giacche due assi sono uguali): quota massima in P (0,0,1), il semiasse verticale vale infatti 1, poi il semiasse lungo x vale 1, dunque la mia superficie incontra l'asse x nei punti (1,0,0) e (-1,0,0), e poi lungo y il semiasse vale $sqrt2$ e la superficie incontra l'asse y nei punti (0,$sqrt2$,0) e (0,$-sqrt2$, 0).
Inferiormete il solido è limitato dal piano xy e di conseguenza ho una superficie piana a forma di ellissi la cui area sarà $A=piab$ dove a e b sono i semiassi dell'ellissi e quindi nel nostro caso $A=pi*1*sqrt2$.
E' vero che se affetto il mio solido con piani perpendicolari all'asse y ottengo sempre semicerchi, il più grande in corrispondenza del piano xz (raggio=1) per poi diminuire fino a $y=+-sqrt2$?
Serve questa ultima considerazione?
Se ho sbagliato correggetemi!
Allora se non ho capito male abbiamo un solido limitato superiormente dalla superficie di mezzo elissoide (mi sembra si possa parlare di elissoide di rotazione giacche due assi sono uguali): quota massima in P (0,0,1), il semiasse verticale vale infatti 1, poi il semiasse lungo x vale 1, dunque la mia superficie incontra l'asse x nei punti (1,0,0) e (-1,0,0), e poi lungo y il semiasse vale $sqrt2$ e la superficie incontra l'asse y nei punti (0,$sqrt2$,0) e (0,$-sqrt2$, 0).
Inferiormete il solido è limitato dal piano xy e di conseguenza ho una superficie piana a forma di ellissi la cui area sarà $A=piab$ dove a e b sono i semiassi dell'ellissi e quindi nel nostro caso $A=pi*1*sqrt2$.
E' vero che se affetto il mio solido con piani perpendicolari all'asse y ottengo sempre semicerchi, il più grande in corrispondenza del piano xz (raggio=1) per poi diminuire fino a $y=+-sqrt2$?
Serve questa ultima considerazione?
Se ho sbagliato correggetemi!
Dissance, ho capito quale obiezione mi ha sollevato, il problema però è che non so come ovviarne! Gio73, a questo punto non so dirti se va bene come dici te o meno...
Per sfruttare il suggerimento (posto che uno lo voglia fare) si può integrare per strati ortogonali all'asse \(z\).
Le sezioni a quota \(z\) fissata sono ellissi.
Le sezioni a quota \(z\) fissata sono ellissi.
Io adesso ho provato a farlo nuovamente integrando in maniera diversa.
Ho preso piani paralleli all'asse y, in modo tale da avere tutte semicirconferenze.
Ho quindi fatto: $ int_(0)^(pi) int_(0)^(1) int_(-sqrt(2))^(sqrt(2)) rho (4+2z) dz d rho d theta $.
Di nuovo sbagliato?
Ho preso piani paralleli all'asse y, in modo tale da avere tutte semicirconferenze.
Ho quindi fatto: $ int_(0)^(pi) int_(0)^(1) int_(-sqrt(2))^(sqrt(2)) rho (4+2z) dz d rho d theta $.
Di nuovo sbagliato?
Ciao Controllore,
io davvero non ti so aiutare, l'unica cosa che so fare è calcolare, forse, il volume del semielissoide. A questo punto mi interesserebbe sapere se ho fatto bene i conti.
Il ragionamento è il seguente: intanto mi calcolo il volume di 1/4 di elissoide (da $y=0$ a $y=sqrt2$), poi mi basta raddoppiare, no?
Ora se affetto con piani perpendicolri a y ottengo come abbiamo già detto dei semicerchi, se conoscessi il raggio potrei conoscere l'area di base ($1/2pir^2$) da moltiplicare per la minuscola altezza dy e poi sommare il tutto per conoscere il volume.
Il mio problema si riduce a conoscere questo raggio, magari già al quadrato, che varia da 1 a 0, ma come? Ebbene se guardo la curva sul piano zy mi accorgo che è 1/4 di ellissi la cui equazione è $z^2+y^2/2=1$, il raggio che mi interessa è la z, dunque isolo $z^2=1-y^2/2$, provo dunque a fare l'integrale
$int_0^sqrt2 1/2pi(1-y^2)dy$
Svolgo tutti i conti e trovo che il volume di 1/4 di elissoide è $V=1/3pisqrt2$, dunque il volume del semielissoide $V=2/3pisqrt2$
io davvero non ti so aiutare, l'unica cosa che so fare è calcolare, forse, il volume del semielissoide. A questo punto mi interesserebbe sapere se ho fatto bene i conti.
Il ragionamento è il seguente: intanto mi calcolo il volume di 1/4 di elissoide (da $y=0$ a $y=sqrt2$), poi mi basta raddoppiare, no?
Ora se affetto con piani perpendicolri a y ottengo come abbiamo già detto dei semicerchi, se conoscessi il raggio potrei conoscere l'area di base ($1/2pir^2$) da moltiplicare per la minuscola altezza dy e poi sommare il tutto per conoscere il volume.
Il mio problema si riduce a conoscere questo raggio, magari già al quadrato, che varia da 1 a 0, ma come? Ebbene se guardo la curva sul piano zy mi accorgo che è 1/4 di ellissi la cui equazione è $z^2+y^2/2=1$, il raggio che mi interessa è la z, dunque isolo $z^2=1-y^2/2$, provo dunque a fare l'integrale
$int_0^sqrt2 1/2pi(1-y^2)dy$
Svolgo tutti i conti e trovo che il volume di 1/4 di elissoide è $V=1/3pisqrt2$, dunque il volume del semielissoide $V=2/3pisqrt2$
Grazie Gio73 per la pazienza, fatto sta che a me serve il flusso. Che debba passare per il volume? Non so se la strada è codesta, io ne so ancora meno di te! Grazie ancora comunque!
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