Calcolo di derivata per trovare Prodotto Marginale
Buongiorno a tutti, mi sono iscritto per chiedere un Vostro aiuto circa un esercizio di microeconomia dove, attraverso il calcolo di una derivata, devo trovare due prodotti marginali.
i dati sono:
funzione di produzione Q=K^0,5 L^0,5
dove K e L sono Capitale e Lavoro, i due fattori di produzioni presi in considerazione.
Ora: l'esercizio richiede il prodotto marginale del fattore L e quello del fattore K.
il primo si trova così: P'L = dQ/dL e dovrebbe essere 0,5K^0,5 L^-0,5
il prodotto marginale del Capitale é, invece, = dQ/dK e dovrebbe quindi corrispondere a 0,5 K^-0,5 L^0,5
-_-' la mia domanda é: come si arriva ai due risultati???
per esempio P'L --> io ho provato a fare la derivata del prodotto K * L (per fare dQ) fratto la derivata di L ma mi perdo tra gli 0,5 che sono poi 1/2 che sono poi radici ecc ecc :S :S :S :S
mi rendo perfettamente conto che siano calcoli banalissimi ma non riesco proprio a uscirne, vi sarei veramente grato se aveste la pazienza di darmi un aiuto mostrandomi i passaggi per arrivare ai due risultati, o anche ad uno solo così l'altro posso provare a farlo da solo.
Ringrazio già che avuto la pazienza di leggere e mi scuso per la perdita di tempo che vi ho causato.
Aspetto notizie
i dati sono:
funzione di produzione Q=K^0,5 L^0,5
dove K e L sono Capitale e Lavoro, i due fattori di produzioni presi in considerazione.
Ora: l'esercizio richiede il prodotto marginale del fattore L e quello del fattore K.
il primo si trova così: P'L = dQ/dL e dovrebbe essere 0,5K^0,5 L^-0,5
il prodotto marginale del Capitale é, invece, = dQ/dK e dovrebbe quindi corrispondere a 0,5 K^-0,5 L^0,5
-_-' la mia domanda é: come si arriva ai due risultati???
per esempio P'L --> io ho provato a fare la derivata del prodotto K * L (per fare dQ) fratto la derivata di L ma mi perdo tra gli 0,5 che sono poi 1/2 che sono poi radici ecc ecc :S :S :S :S
mi rendo perfettamente conto che siano calcoli banalissimi ma non riesco proprio a uscirne, vi sarei veramente grato se aveste la pazienza di darmi un aiuto mostrandomi i passaggi per arrivare ai due risultati, o anche ad uno solo così l'altro posso provare a farlo da solo.
Ringrazio già che avuto la pazienza di leggere e mi scuso per la perdita di tempo che vi ho causato.
Aspetto notizie
Risposte
Innanzitutto ti do il benvenuto sul forum.
Come seconda cosa, ti chiedo di usare i compilatori di formule per scrivere le equazioni, trovi le istruzioni in "il nostro forum->come scrivere le formule".
Venendo al tuo problema: la funzione $Q=K^{0.5} \cdot L^{0.5}$ è quella di partenza.
Calcolare ${dQ}/{dK}$e ${dQ}/{dL}$ è solo questione di matematica: sono semplici derivate.
Quelle che hai scritto non mi sembrano giuste, prova a riguardare le formule di derivazione $D[f(x)^\alpha]$
Come seconda cosa, ti chiedo di usare i compilatori di formule per scrivere le equazioni, trovi le istruzioni in "il nostro forum->come scrivere le formule".
Venendo al tuo problema: la funzione $Q=K^{0.5} \cdot L^{0.5}$ è quella di partenza.
Calcolare ${dQ}/{dK}$e ${dQ}/{dL}$ è solo questione di matematica: sono semplici derivate.
Quelle che hai scritto non mi sembrano giuste, prova a riguardare le formule di derivazione $D[f(x)^\alpha]$
allora provo a scrivere quello che ho fatto io usando il font corretto:
prendiamo la prima, P'L = $ d / dQ / L $
(spero di averlo scritto giusto)
comunque...
io vedo dQ come derivata di un prodotto:
dQ = $ 1 / 2 K^(-1 / 2) * L^(1/2) + K^(1 / 2) * 1 / 2 L^(-1 / 2) $
almeno come primo passo é giusto? non so mi sembra una lungaggine per una cosa "semplice" come trovare un prodotto marginale...
(la prova comunque é un vecchio appello, corretto e caricato sul sito dell'università dal professore, quindi immagino, mi auguro, sia giusto)
prendiamo la prima, P'L = $ d / dQ / L $
(spero di averlo scritto giusto)
comunque...
io vedo dQ come derivata di un prodotto:
dQ = $ 1 / 2 K^(-1 / 2) * L^(1/2) + K^(1 / 2) * 1 / 2 L^(-1 / 2) $
almeno come primo passo é giusto? non so mi sembra una lungaggine per una cosa "semplice" come trovare un prodotto marginale...
(la prova comunque é un vecchio appello, corretto e caricato sul sito dell'università dal professore, quindi immagino, mi auguro, sia giusto)
No, temo che non sia così!
$dQ$ in sé è solo il differenziale, ma in questo caso ci conviene molto trattare solo la derivata. Provo a spiegarmi meglio: la funzione $Q$ dipende da $K$ e $L$, dunque è una funzione di due variabili $Q(K,L)$. I due prodotti che stai cercando sono le due derivate parziali di $Q$, quindi per trovare il primo, $P'_L$, devi derivare $Q$ rispetto a $L$, dunque prendi $Q=K^{0.5} \cdot L^{0.5}$ e consideri $K^{0.5}$ come un valore costante, che possiamo indicare come $k$, riducendo la formula a $Q=k \cdot L^{0.5}$, per poi fare la derivata di questa funzione rispetto alla variabile $L$.
Per $P'_K$ il procedimento è analogo.
Spero ti sia più chiaro ora.
$dQ$ in sé è solo il differenziale, ma in questo caso ci conviene molto trattare solo la derivata. Provo a spiegarmi meglio: la funzione $Q$ dipende da $K$ e $L$, dunque è una funzione di due variabili $Q(K,L)$. I due prodotti che stai cercando sono le due derivate parziali di $Q$, quindi per trovare il primo, $P'_L$, devi derivare $Q$ rispetto a $L$, dunque prendi $Q=K^{0.5} \cdot L^{0.5}$ e consideri $K^{0.5}$ come un valore costante, che possiamo indicare come $k$, riducendo la formula a $Q=k \cdot L^{0.5}$, per poi fare la derivata di questa funzione rispetto alla variabile $L$.
Per $P'_K$ il procedimento è analogo.
Spero ti sia più chiaro ora.
ma se riduco a $ Q = k * (L)^(0,5) $
e faccio la derivata...
non mi viene la derivata di una costante, cioé 0, che moltiplica $ 0,5 L ^-0,^5 $
e quindi con la moltiplicazione mi va tutto a zero...
e dire che ho fatto pure lo scientifico porca paletta.
non mi ricordo più nulla, "devi derivare Q rispetto a L" significa che tratto tutto ciò che non é con L come una costante?
e faccio la derivata...
non mi viene la derivata di una costante, cioé 0, che moltiplica $ 0,5 L ^-0,^5 $
e quindi con la moltiplicazione mi va tutto a zero...
e dire che ho fatto pure lo scientifico porca paletta.
non mi ricordo più nulla, "devi derivare Q rispetto a L" significa che tratto tutto ciò che non é con L come una costante?
Esattamente, ma qui mi cadi su una buccia di banana: la derivata di $2x$ quanto vale??
La derivata di $k*f(x)$ quanto vale??
Vai a rivedere la teoria delle derivate, probabilmente hai le idee un attimo confuse
La derivata di $k*f(x)$ quanto vale??
Vai a rivedere la teoria delle derivate, probabilmente hai le idee un attimo confuse
la derivata di 2x é 2...
.......................
ç_ç mi é concesso piangere?
.......................
ç_ç mi é concesso piangere?
Assolutamente no! Testa alta ed ottimismo, piangerai quando l'esercizio è completato 
Ora, dopo l'illuminazione che $D[2x]=2$, rifammi la derivata di $k\cdot L^{0.5}$
Ora, dopo l'illuminazione che $D[2x]=2$, rifammi la derivata di $k\cdot L^{0.5}$
dunque.
partiamo dalle cose certe.
la derivata di 2x é = 2.
quindi, applichiamo questa cosa così certa a al mio adorato
$ k * (L)^(0,5) $
se k é una costante la sua derivata é uguale a 0
se $ (L)^(0,5) $ é come scrivere $ (x)^(n) $ é presumibile che la sua derivata sia $ nx^(n-1) $
quindi $ 0,5 L^(-0,5)
O NO?
sigh.
partiamo dalle cose certe.
la derivata di 2x é = 2.
quindi, applichiamo questa cosa così certa a al mio adorato
$ k * (L)^(0,5) $
se k é una costante la sua derivata é uguale a 0
se $ (L)^(0,5) $ é come scrivere $ (x)^(n) $ é presumibile che la sua derivata sia $ nx^(n-1) $
quindi $ 0,5 L^(-0,5)
O NO?
sigh.
Sì, meno male.
Comunque, senza stare a pensarci troppo, se hai una costante che moltiplica una funzione, puoi derivare la funzione e moltiplicare il risultato per la costante, senza stare a fare la regola del prodotto!
Comunque, senza stare a pensarci troppo, se hai una costante che moltiplica una funzione, puoi derivare la funzione e moltiplicare il risultato per la costante, senza stare a fare la regola del prodotto!
edit prima che tu legga questa vaccata immonda. XD
"Raptorista":
Sì, meno male.
Comunque, senza stare a pensarci troppo, se hai una costante che moltiplica una funzione, puoi derivare la funzione e moltiplicare il risultato per la costante, senza stare a fare la regola del prodotto!
allora. basta, ora ci provo e come ultimo favore ti chiedo di dirmi se é giusto:
ho una costante, k, che moltiplica una funzione, derivo la funzione e moltiplico per la costante.
applicando al mio caso:
data la funzione di produzione:
$ Q = K^(0,5) * L^(0,5) $
il prodotto marginale del fattore L é uguale a $ P'L = (dQ)/(dL) $ che significa derivare solo ciò che é con L, trattando le restanti cose come costanti.
quindi: derivo, per dQ solo $ L^(0,5) $ , tenendo quindi $ K^(0.5) $ come tale, ottenendo quindi $ 0,5 L ^(-0,5) * K^(0,5) $
e per dL derivo e ottengo $ 0,5L^(-0,5) $
in definitiva $ (dQ) / (dL) $ é $ (0,5 L^(-0,5) * K^(0,5)) / (0,5 L^(-0,5))
right?
Sì: se hai da derivare, ad esempio, $y=9*e^{sqrt2}x^5$, la costante $9*e^{sqrt2}$ la togli letteralmente e derivi solo $x^5$. Una volta avuta la derivata di $x^5$ cioè $5x^4$ la rimoltiplichi per la costante che avevi tolto.
Comunque, ti svelerò un segreto SEGRETISSIMO: questi ed altri misteri sono racchiusi in un libro molto speciale, che si chiama "teoria di analisi" o qualcosa di simile... In altre parole, studiati bene come si fanno le derivate, che questi passaggi sono spiegati e dimostrati sui libri di testo!
Comunque, ti svelerò un segreto SEGRETISSIMO: questi ed altri misteri sono racchiusi in un libro molto speciale, che si chiama "teoria di analisi" o qualcosa di simile... In altre parole, studiati bene come si fanno le derivate, che questi passaggi sono spiegati e dimostrati sui libri di testo!
lo so purtroppo sono parecchio carente sulle basi. Per colpe che non appartengono a nessuno se non a me stesso.
Comunque in questo sconforto mi trovo a constatare che il mio risultato non é lo stesso del professore perché a lui viene solo $0,5K^(0,5)*L^(-0,5)$
Comunque in questo sconforto mi trovo a constatare che il mio risultato non é lo stesso del professore perché a lui viene solo $0,5K^(0,5)*L^(-0,5)$
No, non ci siamo.
Adesso studiare la teoria diventa un obbligo. Inizio con una precisazione: la scrittura $\frac{dQ}{dL}$ indica la derivata, è uguale alla scrittura $Q'(L)$, NON è un rapporto di derivate!
I simboli $dQ$ e $dL$ sono i differenziali, NON le derivate.
Scrivere $\frac{dQ}{dL}$ equivale a calcolare la derivata di Q rispetto ad L, quindi quello che tu hai fatto per calcolare $dQ$ (che, ti ricordo, non ha questo significato) è in realtà la derivata, quella che indichiamo come $\frac{dQ}{dL}$.
Detto ciò, studia la teoria, poiché ogni altra spiegazione che posso darti sarebbe superflua senza.
Adesso studiare la teoria diventa un obbligo. Inizio con una precisazione: la scrittura $\frac{dQ}{dL}$ indica la derivata, è uguale alla scrittura $Q'(L)$, NON è un rapporto di derivate!
I simboli $dQ$ e $dL$ sono i differenziali, NON le derivate.
Scrivere $\frac{dQ}{dL}$ equivale a calcolare la derivata di Q rispetto ad L, quindi quello che tu hai fatto per calcolare $dQ$ (che, ti ricordo, non ha questo significato) è in realtà la derivata, quella che indichiamo come $\frac{dQ}{dL}$.
Detto ciò, studia la teoria, poiché ogni altra spiegazione che posso darti sarebbe superflua senza.
"Raptorista":
No, non ci siamo.
Adesso studiare la teoria diventa un obbligo. Inizio con una precisazione: la scrittura $\frac{dQ}{dL}$ indica la derivata, è uguale alla scrittura $Q'(L)$, NON è un rapporto di derivate!
I simboli $dQ$ e $dL$ sono i differenziali, NON le derivate.
Scrivere $\frac{dQ}{dL}$ equivale a calcolare la derivata di Q rispetto ad L, quindi quello che tu hai fatto per calcolare $dQ$ (che, ti ricordo, non ha questo significato) è in realtà la derivata, quella che indichiamo come $\frac{dQ}{dL}$.
Detto ciò, studia la teoria, poiché ogni altra spiegazione che posso darti sarebbe superflua senza.
davanti all'evidenza mi arrendo e vado a mettere la testa nel libro di analisi delle superiori. Grazie comunque della pazienza e scusa se ti ho fatto perdere tempo.
ovviamente il topic può essere chiuso...
che idiota!!!! ora ho capito!! ma ripassare la teoria non farà comunque male!
grazie!!!!!!!!!
grazie!!!!!!!!!
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