Calcolo derivata prima
Ciao a tutti, ho un rpoblema con questa derivata (non riesco a trovare l'errore):
$ (x+1)*e^(-1/(x+3)) $
a me risulta:
$ e^((-1)/(x+3))+(x+1)*e^(-1/(x+3))/(x+3)^2 $
che è sbagliato perchè ho i risultati.
Dove sbaglio?
Grazie
$ (x+1)*e^(-1/(x+3)) $
a me risulta:
$ e^((-1)/(x+3))+(x+1)*e^(-1/(x+3))/(x+3)^2 $
che è sbagliato perchè ho i risultati.
Dove sbaglio?
Grazie
Risposte
Svolgendo gli opportuni calcoli si dovrebbe ottenere:
$ (e^(-1/(x+3))*(x^2+7x+10))/(x+3)^2 $
$ (e^(-1/(x+3))*(x^2+7x+10))/(x+3)^2 $
infatti quello è il risultato.
Allora la vedo come una derivata di un prodotto giusto?
Quindi ho: f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x), dove:
f(x)= $ (x+1) $ e
g(x)= $ e^(-1/(x+3)) $
eppure mi esce sbagliata, mi manca $ x^2+7x+10 $ ...
Allora la vedo come una derivata di un prodotto giusto?
Quindi ho: f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x), dove:
f(x)= $ (x+1) $ e
g(x)= $ e^(-1/(x+3)) $
eppure mi esce sbagliata, mi manca $ x^2+7x+10 $ ...
La tua derivata è corretta, basta soltanto mettere in evidenza $ e^(-1/(x+3)) $. Quindi si ha che:
$ (e^(-1/(x+3))*((x+3)^2 +x+1))/(x+3)^2 $
$ (e^(-1/(x+3))*((x+3)^2 +x+1))/(x+3)^2 $
ok grazie mille. Posso chiederti un'altra cosa?
Se dovessi studiare il segno della derivata che ho ottenuto?
con $ x>1 $ ho appunto:
$ e^((-1)/(x+3))*(x^2+7x+10)/(x+3)^2 $
Pongo il numeratore maggiore di zero e trovo i due risultati:
$ x<-5 $ e $ x> -2 $
Per il denominatore faccio la stessa cosa, quindi ottengo:
$ x=-3 $
Invece l'esponenziale come la tratto?
Come faccio poi a capire dove la funzione cresce e decresce?
Grazie
Se dovessi studiare il segno della derivata che ho ottenuto?
con $ x>1 $ ho appunto:
$ e^((-1)/(x+3))*(x^2+7x+10)/(x+3)^2 $
Pongo il numeratore maggiore di zero e trovo i due risultati:
$ x<-5 $ e $ x> -2 $
Per il denominatore faccio la stessa cosa, quindi ottengo:
$ x=-3 $
Invece l'esponenziale come la tratto?
Come faccio poi a capire dove la funzione cresce e decresce?
Grazie
Per studiare la crescenza e la decrescenza di una funzione c'è bisogno di porre la derivata prima $ >= 0 $. In questo caso però si riduce tutto a:
$ x^2+7x+10>= 0 $ , che, come tu stesso hai detto, ha come soluzioni $ x<=-5 $ e $ x>=-2 $. Ciò significa che la funzione è crescente in questi intervalli ed è decrescente per $ -5<= x <=-2 $. In particolare, dato che $ -5 $ e $ -2 $ sono zeri della derivata, essi saranno, rispettivamente, l'ascissa di un massimo e di un minimo per la funzione.
P.S. Attenzione, il denominatore va posto solo $ >0 $ e in questo caso non va a modificarti in alcun modo il risultato della disequazione.
$ x^2+7x+10>= 0 $ , che, come tu stesso hai detto, ha come soluzioni $ x<=-5 $ e $ x>=-2 $. Ciò significa che la funzione è crescente in questi intervalli ed è decrescente per $ -5<= x <=-2 $. In particolare, dato che $ -5 $ e $ -2 $ sono zeri della derivata, essi saranno, rispettivamente, l'ascissa di un massimo e di un minimo per la funzione.
P.S. Attenzione, il denominatore va posto solo $ >0 $ e in questo caso non va a modificarti in alcun modo il risultato della disequazione.
E l'esponenziale che sta davanti come lo tratto?
Se ricordi il grafico della funzione esponenziale, ti renderai subito conto che è sempre $ >0 $, quindi non ti crea alcun disturbo nella risoluzione di quella disequazione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo