Calcolo derivata direzionale con denominatore della derivata parziale nullo
Buonasera, ho la seguente funzione in due variabili
$ f(x,y)=sqrt(|x^2-xy|) $
da derivare direzionalmente nel punto $ (0,0) $ e nella direzione parallela ed equiversa a $v=(1,1)$
Ho proceduto in due modi differenti:
1. USANDO LA DEFINIZIONE:
$ lim_(t->0) (f(0+t*1,0+t*1)-f(0,0))/t$
$ lim_(t->0) (f(t,t)-f(0,0))/t$
$ lim_(t->0) sqrt(|t^2-t^2|)/t$
$ lim_(t->0) 0/t = 0$
E cosi riesce.
2. CALCOLANDO IL GRADIENTE E MOLTIPLICARLO PER $v$
In questo caso mi blocco alla fine del calcolo della prima derivata parziale, infatti:
$ fx(x,y) = (2x-y)/(2(x^2-xy)) $
Nel punto $ (0, 0) $ il denominatore si annulla, di conseguenza per questo punto non posso applicare questo metodo e devo ricadere sul primo?
$ f(x,y)=sqrt(|x^2-xy|) $
da derivare direzionalmente nel punto $ (0,0) $ e nella direzione parallela ed equiversa a $v=(1,1)$
Ho proceduto in due modi differenti:
1. USANDO LA DEFINIZIONE:
$ lim_(t->0) (f(0+t*1,0+t*1)-f(0,0))/t$
$ lim_(t->0) (f(t,t)-f(0,0))/t$
$ lim_(t->0) sqrt(|t^2-t^2|)/t$
$ lim_(t->0) 0/t = 0$
E cosi riesce.
2. CALCOLANDO IL GRADIENTE E MOLTIPLICARLO PER $v$
In questo caso mi blocco alla fine del calcolo della prima derivata parziale, infatti:
$ fx(x,y) = (2x-y)/(2(x^2-xy)) $
Nel punto $ (0, 0) $ il denominatore si annulla, di conseguenza per questo punto non posso applicare questo metodo e devo ricadere sul primo?
Risposte
Fortunatamente, le “formule” fanno parte di teoremi i quali valgono solo se sono soddisfatte delle ipotesi… Hai verificato che la formula si possa usare?
La formula del gradiente è un vero e proprio teorema che possiede delle ipotesi, le quali devono essere preventivamente verificate.
Esistono diversi enunciati del teorema sulla formula del gradiente (non equivalenti tra loro): qual è quello che conosci tu?
[Edit] Gugo mi ha preceduto
[size=70][Edit 2]: ho modificato una frase perché tremendamente cacofonica.[/size]
Esistono diversi enunciati del teorema sulla formula del gradiente (non equivalenti tra loro): qual è quello che conosci tu?
[Edit] Gugo mi ha preceduto
[size=70][Edit 2]: ho modificato una frase perché tremendamente cacofonica.[/size]
"Mathita":
La formula del gradiente è un vero e proprio teorema che possiede delle ipotesi, le quali devono essere preventivamente verificate.
Esistono diverse formulazioni del teorema sulla formula del gradiente (non equivalenti tra loro). Qual è quella che conosci tu?
[Edit] Gugo mi ha preceduto
Mi scuso per non averla scritta:
$ fv(x_0,y_0) = grad f(x_0,y_0)*v $
Effettivamente essa richiede che la funzione sia differenziabile in $ (x_0,y_0)$ ma in fin dei conti io ancora non ho applicato il teorema, mi sono semplicemente limitato a calcolare una derivata parziale.
Difatti, non hai calcolato la derivata parziale che ti serve, ma tutt’altro.
Da quello che so è la funzione generica che identifica la nostra derivata parziale, basterà inserire $ (0,0) $ all' interno di essa per trovare la derivata parziale che ci interessa.
Va bene, proviamo a vedere se questa strategia funziona nel caso di una sola variabile.
Considera $f(x) := \{ (x^2 sin(1/x) , text(, se ) x!=0), (0, text(, se ) x=0) :}$.
Quanto vale $f’(0)$?
Considera $f(x) := \{ (x^2 sin(1/x) , text(, se ) x!=0), (0, text(, se ) x=0) :}$.
Quanto vale $f’(0)$?
"gugo82":
Va bene, proviamo a vedere se questa strategia funziona nel caso di una sola variabile.
Considera $f(x) := \{ (x^2 sin(1/x) , text(, se ) x!=0), (0, text(, se ) x=0) :}$.
Quanto vale $f’(0)$?
Verifico la continuità in quanto è condizione necessaria:
$ lim_(x->0+) x^2*sin(1/x)=0$
$ lim_(x->0-) x^2*sin(1/x)=0$
Di conseguenza la funzione è continua e posso derivarla:
$ f'(x) := \{ (2xsin(1/x)-cos(1/x) , text(, se ) x!=0), (0, text(, se ) x=0) :} $
Concludendo:
$ f'(0) = 0 $
Scusate se mi intrometto. Non vorrei interferire anche perché Gugo sta proponendo degli ottimi spunti di riflessione.
Segnalo che il calcolo della derivata parziale rispetto a $x$ è sbagliata, così come è sbagliata la derivata direzionale con la definizione.
Dai passaggi riportati da Luk_3D mi pare di capire che ci sia un segno traballante. Non è che per caso $f(x,y)=\sqrt{|x^2-x y|}$?
Detto questo, mi ritiro.
Segnalo che il calcolo della derivata parziale rispetto a $x$ è sbagliata, così come è sbagliata la derivata direzionale con la definizione.
Dai passaggi riportati da Luk_3D mi pare di capire che ci sia un segno traballante. Non è che per caso $f(x,y)=\sqrt{|x^2-x y|}$?
Detto questo, mi ritiro.
La derivata per $x!=0$ è sbagliata.
Come hai calcolato in $0$?
Come hai calcolato in $0$?
"gugo82":
La derivata per $ x!=0 $ è sbagliata.
Come hai calcolato in $ 0 $?
"Mathita":
Scusate se mi intrometto. Non vorrei interferire anche perché Gugo sta proponendo degli ottimi spunti di riflessione.
Segnalo che il calcolo della derivata parziale rispetto a $x$ è sbagliata, così come è sbagliata la derivata direzionale con la definizione.
Dai passaggi riportati da Luk_3D mi pare di capire che ci sia un segno traballante. Non è che per caso $f(x,y)=\sqrt{|x^2-x y|}$?
Detto questo, mi ritiro.
Modificato sia il segno sia la derivata prima in $ x!=0 $. Mi scuso per l'imprecisione.
La derivata di $0$ non fa $0$?
Sì, fa zero, ma il punto è: come l’hai calcolata?
Essendo una funzione costante avremo che la derivata è zero, in particolare se sono necessari più passaggi:
$ lim_(h->0) (f(x+h)-f(x))/h $
dato che $ f(x+h) = 0 $ e $f(x)=0$
$ lim _(h->0) (0-0)/h=0$
$ lim_(h->0) (f(x+h)-f(x))/h $
dato che $ f(x+h) = 0 $ e $f(x)=0$
$ lim _(h->0) (0-0)/h=0$
Ma no!
Guarda bene...
Guarda bene...
"gugo82":
Ma no!
Guarda bene...
Non so cosa possa essere sbagliato nel mio ragionamento, ad ogni modo essendo la derivata il coefficiente angolare della retta tangente, per $ y=c $ è uguale a $0$.
Il punto è che non riesci a scrivere decentemente il rapporto incrementale centrato in $0$, perché non ci ragioni sopra (e procedi meccanicamente).
Il punto di quest’esempiuccio (che dovrebbe essere noto da Analisi I, perché è davvero fondamentale) è questo: anche se la derivata prima di una funzione ha un’espressione analitica “decente” (in questo caso, $2x sin(1/x) - cos(1/x)$) intorno ad un certo punto di derivabilità per la funzione stessa (in questo caso, $0$), in generale non è possibile ricavare il valore della derivata in quel certo punto andando a sostituire il punto nell’espressione analitica della derivata (in questo caso, col cavolo che ottieni qualcosa di sensato andando a sostituire $0$ in $2x sin(1/x) - cos(1/x)$!!!).[nota]L’unico caso in cui la sostituzione è lecita, in realtà, è quello in cui si sa a priori che la funzione assegnata ha la derivata continua nel punto di derivabilità considerato per il calcolo. E difatti il caso in esame difetta proprio in questo: la nostra $f$ è derivabile in tutto $RR$, ma la $f’$ non è continua in $0$.[/nota]
Dunque , in generale, le derivate in un punto vanno calcolate con la definizione, i.e. prendendo il limite del rapporto incrementale.
Il punto di quest’esempiuccio (che dovrebbe essere noto da Analisi I, perché è davvero fondamentale) è questo: anche se la derivata prima di una funzione ha un’espressione analitica “decente” (in questo caso, $2x sin(1/x) - cos(1/x)$) intorno ad un certo punto di derivabilità per la funzione stessa (in questo caso, $0$), in generale non è possibile ricavare il valore della derivata in quel certo punto andando a sostituire il punto nell’espressione analitica della derivata (in questo caso, col cavolo che ottieni qualcosa di sensato andando a sostituire $0$ in $2x sin(1/x) - cos(1/x)$!!!).[nota]L’unico caso in cui la sostituzione è lecita, in realtà, è quello in cui si sa a priori che la funzione assegnata ha la derivata continua nel punto di derivabilità considerato per il calcolo. E difatti il caso in esame difetta proprio in questo: la nostra $f$ è derivabile in tutto $RR$, ma la $f’$ non è continua in $0$.[/nota]
Dunque , in generale, le derivate in un punto vanno calcolate con la definizione, i.e. prendendo il limite del rapporto incrementale.
"gugo82":
Il punto è che non riesci a scrivere decentemente il rapporto incrementale centrato in $0$, perché non ci ragioni sopra (e procedi meccanicamente).
Il punto di quest’esempiuccio (che dovrebbe essere noto da Analisi I, perché è davvero fondamentale) è questo: anche se la derivata prima di una funzione ha un’espressione analitica “decente” (in questo caso, $2x sin(1/x) - cos(1/x)$) intorno ad un certo punto di derivabilità per la funzione stessa (in questo caso, $0$), in generale non è possibile ricavare il valore della derivata in quel certo punto andando a sostituire il punto nell’espressione analitica della derivata (in questo caso, col cavolo che ottieni qualcosa di sensato andando a sostituire $0$ in $2x sin(1/x) - cos(1/x)$!!!).[nota]L’unico caso in cui la sostituzione è lecita, in realtà, è quello in cui si sa a priori che la funzione assegnata ha la derivata continua nel punto di derivabilità considerato per il calcolo. E difatti il caso in esame difetta proprio in questo: la nostra $f$ è derivabile in tutto $RR$, ma la $f’$ non è continua in $0$.[/nota]
Dunque , in generale, le derivate in un punto vanno calcolate con la definizione, i.e. prendendo il limite del rapporto incrementale.
Ti ringrazio notevolmente per la risposta esaustiva ma mi domando perché tu abbia scelto la seguente funzione:
$ f(x) := \{ (x^2 sin(1/x) , text(, se ) x!=0), (0, text(, se ) x=0) :} $
Da quello che ho scritto nei precedenti messaggi sia lei sia la sua deriva sono continue $ AA x in mathbb(R) $
Avrei notato maggiormente il problema nel caso i cui la funzione non fosse definita a tratti.
Una cosa di questo tipo:
$ f(x) = x^2 sin(1/x) $
Ah, quindi la derivata della mia $f$ è continua… Dimostralo.
"gugo82":
Ah, quindi la derivata della mia $f$ è continua… Dimostralo.
Ho verificato, come non detto, facciamo finta non abbia scritto nulla.
Figurati... L'importante è che tu abbia chiaro questo:
"gugo82":
Il punto di quest’esempiuccio (che dovrebbe essere noto da Analisi I, perché è davvero fondamentale) è questo: anche se la derivata prima di una funzione ha un’espressione analitica “decente” (in questo caso, $2x sin(1/x) - cos(1/x)$) intorno ad un certo punto di derivabilità per la funzione stessa (in questo caso, $0$), in generale non è possibile ricavare il valore della derivata in quel certo punto andando a sostituire il punto nell’espressione analitica della derivata (in questo caso, col cavolo che ottieni qualcosa di sensato andando a sostituire $0$ in $2x sin(1/x) - cos(1/x)$!!!).[nota]L’unico caso in cui la sostituzione è lecita, in realtà, è quello in cui si sa a priori che la funzione assegnata ha la derivata continua nel punto di derivabilità considerato per il calcolo. E difatti il caso in esame difetta proprio in questo: la nostra $f$ è derivabile in tutto $RR$, ma la $f’$ non è continua in $0$.[/nota]
Dunque , in generale, le derivate in un punto vanno calcolate con la definizione, i.e. prendendo il limite del rapporto incrementale.
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