Calcolo derivata con valore assoluto, frazione ed esponenziale
Salve a tutti, sono in difficoltà nel calcolare la derivata di questa funzione:
$ f(x)= e^(x+1)/(|x|+1) $
Ho seguito le formule:
$ y'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g^2(x)) $
$ y'=|varphi(x)|/(varphi(x))*varphi'(x) $
e secondo i miei calcoli il risultato sarebbe questo:
$ y'= ([e^(x+1)*(|x|+1)]-[e^(x+1)*(|x|/x)])/(|x|+1)^2 $
ma quello giusto dovrebbe essere questo qui:
$ y'= (e^(x+1)*(|x|+(x-1)x))/(|x|(|x|+1)^2) $
Siccome non riesco proprio a capire dove ho sbagliato, qualcuno riesce a darmi una mano? Grazie!!
$ f(x)= e^(x+1)/(|x|+1) $
Ho seguito le formule:
$ y'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g^2(x)) $
$ y'=|varphi(x)|/(varphi(x))*varphi'(x) $
e secondo i miei calcoli il risultato sarebbe questo:
$ y'= ([e^(x+1)*(|x|+1)]-[e^(x+1)*(|x|/x)])/(|x|+1)^2 $
ma quello giusto dovrebbe essere questo qui:
$ y'= (e^(x+1)*(|x|+(x-1)x))/(|x|(|x|+1)^2) $
Siccome non riesco proprio a capire dove ho sbagliato, qualcuno riesce a darmi una mano? Grazie!!
Risposte
Butta nel cestino le formule sul calcolo della derivata di un valore assoluto, e distingui i due casi. Ciao.
Ciao fedekica benvenuta sul forum.
La derivata che hai svolto è corretta. Il risultato che hai dato per giusto è una manipolazione del tuo. Al numeratore ha semplicemente raccolto a fattor comune $e^(x+1)$. Dunque
$(e^(x+1)(abs(x)+1-(x/abs(x))))/((abs(x)+1)^2)$
Ora dovrebbe essere molto facile ricondursi alla soluzione
La derivata che hai svolto è corretta. Il risultato che hai dato per giusto è una manipolazione del tuo. Al numeratore ha semplicemente raccolto a fattor comune $e^(x+1)$. Dunque
$(e^(x+1)(abs(x)+1-(x/abs(x))))/((abs(x)+1)^2)$
Ora dovrebbe essere molto facile ricondursi alla soluzione
Ciao xAle grazie per la risposta! Sono contenta che la mia derivata sia corretta, ma ci sono ancora alcune cose che non capisco:$ (e^(x+1)(abs(x)+1-(x/abs(x))))/((abs(x)+1)^2) $ guardando la frazione che si trova al numeratore, perché il valore assoluto di x si trova al denominatore, quando io me lo ritrovo al numeratore? $y'= ([e^(x+1)*(|x|+1)]-[e^(x+1)*(|x|/x)])/(|x|+1)^2$
Ed anche in questo caso mi trovo: $ (e^(x+1)(abs(x)+1-x))/(abs(x)(abs(x)+1)^2) $ che è comunque diverso dal risultato..
La tua derivata è corretta ma attenzione questi passaggi sono fondamentali per lo studio del segno (cosa veramente importante). Il risultato se noti è diviso in fattori in modo da poterne studiare la positività/negatività e gli zeri della derivata.
Tornando al tuo problema ti stai perdendo in un bicchiere d'acqua. Paradossalmente sai svolgere correttamente una derivata ma non "semplificare" una frazione. Sono banali passaggi algebrici. Non lo dico per offenderti anzi. E' un problema comune che però non ti permette di concludere bene un esercizio, per esempio.
$ (e^(x+1)(abs(x)+1-(x/abs(x))))/((abs(x)+1)^2) $ qui è dove ci eravamo lasciati
$ (e^(x+1)((x^2-x+abs(x)))/(abs(x)))/(abs(x)+1)^2 $
$ (e^(x+1)(x^2-x+abs(x)))/(abs(x)(abs(x)+1)^2) $
$ (e^(x+1)(|x|+(x-1)x))/(|x|(|x|+1)^2) $
Tornando al tuo problema ti stai perdendo in un bicchiere d'acqua. Paradossalmente sai svolgere correttamente una derivata ma non "semplificare" una frazione. Sono banali passaggi algebrici. Non lo dico per offenderti anzi. E' un problema comune che però non ti permette di concludere bene un esercizio, per esempio.
$ (e^(x+1)(abs(x)+1-(x/abs(x))))/((abs(x)+1)^2) $ qui è dove ci eravamo lasciati
$ (e^(x+1)((x^2-x+abs(x)))/(abs(x)))/(abs(x)+1)^2 $
$ (e^(x+1)(x^2-x+abs(x)))/(abs(x)(abs(x)+1)^2) $
$ (e^(x+1)(|x|+(x-1)x))/(|x|(|x|+1)^2) $
Ok, ho capito cosa vuoi dire, in effetti ho dei problemi con le "semplificazioni".
Il problema che rimane ora è: perché hai "capovolto" $ |x|/x $ nella $ y'= ([e^(x+1)*(|x|+1)]-[e^(x+1)*(|x|/x)])/(|x|+1)^2 $ ? Scusa la mia ignoranza in materia..
Il problema che rimane ora è: perché hai "capovolto" $ |x|/x $ nella $ y'= ([e^(x+1)*(|x|+1)]-[e^(x+1)*(|x|/x)])/(|x|+1)^2 $ ? Scusa la mia ignoranza in materia..
Perché è la stessa cosa ... 
Certo di commentarti i passaggi per essere il più chiaro possibile. Sarebbe bene che iniziassi a ragionarci da sola per bene, in ogni eserciziario questo tipo di passaggi "elementari" sono totalmente omessi. Non ti preoccupare apprezzo i tuoi sforzi e ti aiuto bene volentieri, con il tempo e l'impegno poi si migliora
$ (e^(x+1)(abs(x)+1-(x/abs(x))))/((abs(x)+1)^2) $ Ho raccolto $e^(x+1)$
$ (e^(x+1)((x^2-x+abs(x)))/(abs(x)))/(abs(x)+1)^2 $ Ho riscritto tutto sotto lo stesso denominatore, all'interno della parentesi ($abs(x)*abs(x)=x^2$)
$ (e^(x+1)(x^2-x+abs(x)))/(abs(x)(abs(x)+1)^2) $ Ora al numeratore hai due fattori che si moltiplicano, porto al denominatore $abs(x)$ ($(x*(2/3))/2=(x*2)/(2*3)$)
$ (e^(x+1)(|x|+(x-1)x))/(|x|(|x|+1)^2) $ Raccolgo una $x$, $x^2-x+abs(x)=abs(x)+x(x-1)$
$ (e^(x+1)(abs(x)+1-(x/abs(x))))/((abs(x)+1)^2) $ Ho raccolto $e^(x+1)$
$ (e^(x+1)((x^2-x+abs(x)))/(abs(x)))/(abs(x)+1)^2 $ Ho riscritto tutto sotto lo stesso denominatore, all'interno della parentesi ($abs(x)*abs(x)=x^2$)
$ (e^(x+1)(x^2-x+abs(x)))/(abs(x)(abs(x)+1)^2) $ Ora al numeratore hai due fattori che si moltiplicano, porto al denominatore $abs(x)$ ($(x*(2/3))/2=(x*2)/(2*3)$)
$ (e^(x+1)(|x|+(x-1)x))/(|x|(|x|+1)^2) $ Raccolgo una $x$, $x^2-x+abs(x)=abs(x)+x(x-1)$
Ti ringrazio per la pazienza, quello che hai spiegato è chiarissimo! Ma credo di essermi spiegata male nel precedente messaggio. L'ultimo dubbio che ho riguarda il passaggio subito precedente:
questa è la mia:
$ y'= ([e^(x+1)*(|x|+1)]-[e^(x+1)*(|x|/x)])/(|x|+1)^2$
e mettendo in evidenza $e^(x+1)$
$ y'= (e^(x+1)*(|x|+1-(|x|/x)))/((|x|+1)^2$
questa è la tua:
$ y'= (e^(x+1)(abs(x)+1-(x/abs(x))))/((abs(x)+1)^2) $
la differenza sta al numeratore: dove io mi trovo $(|x|/x)$ e tu $(x/|x|)$
dov'è che ho sbagliato?
Grazie ancora!
questa è la mia:
$ y'= ([e^(x+1)*(|x|+1)]-[e^(x+1)*(|x|/x)])/(|x|+1)^2$
e mettendo in evidenza $e^(x+1)$
$ y'= (e^(x+1)*(|x|+1-(|x|/x)))/((|x|+1)^2$
questa è la tua:
$ y'= (e^(x+1)(abs(x)+1-(x/abs(x))))/((abs(x)+1)^2) $
la differenza sta al numeratore: dove io mi trovo $(|x|/x)$ e tu $(x/|x|)$
dov'è che ho sbagliato?
Grazie ancora!
Li leggi i post? Te l'ho detto, sono la stessa cosa ...
Scusa, mi era sfuggito! Quindi, in qualunque modo io la scriva, il risultato sarà sempre corretto. Grazie ad entrambi per l'aiuto!
Scusami fedekica non avevo capito cosa intendessi. Come dice axpgn sono la stessa cosa. Se pensi un attimo al significato di quella scrittura capisci che sono equivalenti. L'ho utilizzata per farmi tornare la soluzione che avevi riportato...
Edit:
In sostanza vuoi che la derivata di $abs(x)$ sia $-1$ per $x<0$ e $+1$ per $x>0$. Dunque una scrittura compatta può essere $abs(x)/x$ oppure $x/abs(x)$. Danno lo stesso risultato
Edit:
In sostanza vuoi che la derivata di $abs(x)$ sia $-1$ per $x<0$ e $+1$ per $x>0$. Dunque una scrittura compatta può essere $abs(x)/x$ oppure $x/abs(x)$. Danno lo stesso risultato
Perfetto! 
grazie mille!
grazie mille!
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