Calcolo derivata
dovrei calcolare questa derivata $ int_(xlogx)^(e^x^2)sin(1/t) dt $
qulcuno puoi indicarmi qualche link dove posso trovare aiuti..o semplicemente dirmi come procedere'?
qulcuno puoi indicarmi qualche link dove posso trovare aiuti..o semplicemente dirmi come procedere'?
Risposte
"geme":
dovrei calcolare questa derivata $ int_(xlogx)^(e^x^2)sin(1/t) dt $
qulcuno puoi indicarmi qualche link dove posso trovare aiuti..o semplicemente dirmi come procedere'?
Ti viene in aiuto questo teorema, di cui ti riporto l'enunciato:
[size=150]Siano $f:[a ; b] -> [c ; d]$ continua, $\varphi , \psi :[c ; d] -> [a ; b]$ di classe $C^1$.
Allora $G := int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(x)dx$ è di classe $C^1$ e vale
$G ' (x)=f(\varphi(x))*\varphi ' (x) - f(\psi(x))*\psi ' (x)$.[/size]
quindi sarebbe devo porre 1/t=x calcolarmi il differenziale..una volta risolto l'integrale lo moltiplico i due estremi come riportato nella formula..giusto?
Relegal, devo dire che mi sfugge il teorema che citi, anche se leggendolo l'ho subito compreso; un altro pezzettino di matematica da studiare per stasera.
Ad ogni modo, io ho pensato di agire così, ditemi se mi sbaglio. Pongo $D(F(t)) = f(t)$ con $f(t) = sin(1/t)$, quindi $F(t)$ è una primitiva di $f(t)$, che non calcolerò. Per il Teorema fondamentale del Calcolo Integrale,
$int_(xlogx)^(e^x^2) sin(1/t) dt = F(e^x^2) - F(xlogx)$
quindi, ricordando la regola della catena per derivare funzioni composte, derivo semplicemente la parte destra della mia equazione, poichè conosco la derivata di $F(t)$
Ditemi se è corretto.
Ad ogni modo, io ho pensato di agire così, ditemi se mi sbaglio. Pongo $D(F(t)) = f(t)$ con $f(t) = sin(1/t)$, quindi $F(t)$ è una primitiva di $f(t)$, che non calcolerò. Per il Teorema fondamentale del Calcolo Integrale,
$int_(xlogx)^(e^x^2) sin(1/t) dt = F(e^x^2) - F(xlogx)$
quindi, ricordando la regola della catena per derivare funzioni composte, derivo semplicemente la parte destra della mia equazione, poichè conosco la derivata di $F(t)$
Ditemi se è corretto.
"geme":
quindi sarebbe devo porre 1/t=x calcolarmi il differenziale..una volta risolto l'integrale lo moltiplico i due estremi come riportato nella formula..giusto?
Innanzitutto ti chiedo scusa perchè rileggendo ora quanto avevo scritto oggi pomeriggio mi sono accorto che nella fretta avevo scritto male la formula della derivata. Ora ho corretto.
Venendo al problema, la tua $f$ è la funzione $sin(1/x)$, le funzioni $\varphi$ e $\psi$ sono rispettivamente $e^(x^2)$ e
$xlogx$. Per poter applicare il teorema devi verificare che siano rispettate le ipotesi. Dopodichè si tratta solo di derivare. Non devi fare nessuna sostituzione !
scusa ma $ 1/t $ è la mia f..oppure $ 1/x $ ?
"ObServer":
Relegal, devo dire che mi sfugge il teorema che citi, anche se leggendolo l'ho subito compreso; un altro pezzettino di matematica da studiare per stasera.
Ad ogni modo, io ho pensato di agire così, ditemi se mi sbaglio. Pongo $D(F(t)) = f(t)$ con $f(t) = sin(1/t)$, quindi $F(t)$ è una primitiva di $f(t)$, che non calcolerò. Per il Teorema fondamentale del Calcolo Integrale,
$int_(xlogx)^(e^x^2) sin(1/t) dt = F(e^x^2) - F(xlogx)$
quindi, ricordando la regola della catena per derivare funzioni composte, derivo semplicemente la parte destra della mia equazione, poichè conosco la derivata di $F(t)$
Ditemi se è corretto.
Correttissimo direi!
Se generalizzi quanto hai scritto a tre funzioni generiche che soddisfano le ipotesi del teorema, ne ottieni direttamente la dimostrazione. Diciamo quindi che più che un teorema, quello che è ho citato è un corollario al teorema fondamentale del calcolo integrale le cui ipotesi sono lo stretto indispensabile per garantire la possibilità di fare i passaggi di integrazione e differenziazione.
"geme":
scusa ma $ 1/t $ è la mia f..oppure $ 1/x $ ?
La tua $f$ è la funzione integranda, quindi $sin(1/t)$. Nel post precedente ho chiamato la variabile indipendente $x$ e non $t$ ma non cambia nulla.
"Relegal":
[quote="ObServer"]Relegal, devo dire che mi sfugge il teorema che citi, anche se leggendolo l'ho subito compreso; un altro pezzettino di [...].
Correttissimo direi!
Se generalizzi quanto hai scritto a tre funzioni generiche che soddisfano le ipotesi del teorema, ne ottieni direttamente la dimostrazione. Diciamo quindi che più che un teorema, quello che è ho citato è un corollario al teorema fondamentale del calcolo integrale le cui ipotesi sono lo stretto indispensabile per garantire la possibilità di fare i passaggi di integrazione e differenziazione.[/quote]L'ho fatto giusto ora alla lavagna, diamine, è vero
Grazie per questa nuova pietra preziosa della matematica Relegal!
"ObServer":
[quote="Relegal"][quote="ObServer"]Relegal, devo dire che mi sfugge il teorema che citi, anche se leggendolo l'ho subito compreso; un altro pezzettino di [...].
Correttissimo direi!
Se generalizzi quanto hai scritto a tre funzioni generiche che soddisfano le ipotesi del teorema, ne ottieni direttamente la dimostrazione. Diciamo quindi che più che un teorema, quello che è ho citato è un corollario al teorema fondamentale del calcolo integrale le cui ipotesi sono lo stretto indispensabile per garantire la possibilità di fare i passaggi di integrazione e differenziazione.[/quote]L'ho fatto giusto ora alla lavagna, diamine, è vero
Grazie per questa nuova pietra preziosa della matematica Relegal![/quote]
Approfittando della discussione ho dato un occhio pure io agli appunti degli anni passati sull'integrale di Riemann così da rinfrescarmi la memoria !
"Relegal":
classe $C^1$.
Scusate l'ignoranza, con classe $c^1$ cosa si intende?
"Samy21":
[quote="Relegal"]classe $C^1$.
Scusate l'ignoranza, con classe $c^1$ cosa si intende?
[/quote]Significa che la funzione è derivabile con derivata continua. Ovviamente va precisato dove tale funzione gode di questa proprietà, quindi, in generale, si può scrivere che una funzione è $C^1(I)$ con $I$ intervallo di $RR$. Se non si specifica niente, può essere o perchè è chiaro dal contesto dove la proprietà vale o perchè si sottintende che vale in ogni punto dello spazio.
Ahn ok, grazie mille....Avevo dedotto qualcosa di simile dal libro ma non ne ero sicura
"Samy21":
Ahn ok, grazie mille....Avevo dedotto qualcosa di simile dal libro ma non ne ero sicura
Prego !
Il discorso si può estendere parlando di funzioni di classe $C^k$.Come immaginerai una funzione $f$ è di classe $C^k( I )$ se è derivabile K - volte in $I$ e la sua derivata K-esima $f^k$ è continua su $I$.
Ecco....io questa cosa non l'ho granchè capita dato che su 3 libri, solo in 1 ho trovato questa citazione e tra l'altro nemmeno spiegata bene
Odio quando un libro dia qualcosa per scontato...Ovviamente se stessi studiando Analisi 2 potrei capire, ma nella prima parte i concetti basilari devono essere spiegati almeno bene
Odio quando un libro dia qualcosa per scontato...Ovviamente se stessi studiando Analisi 2 potrei capire, ma nella prima parte i concetti basilari devono essere spiegati almeno bene
"Samy21":
Ecco....io questa cosa non l'ho granchè capita dato che su 3 libri, solo in 1 ho trovato questa citazione e tra l'altro nemmeno spiegata bene
Odio quando un libro dia qualcosa per scontato...Ovviamente se stessi studiando Analisi 2 potrei capire, ma nella prima parte i concetti basilari devono essere spiegati almeno bene
Sono concetti sui quali bisogna sbattere la testa e che necessitano del tempo per venire assimilati in effetti !
Vedrai che con il tempo tutto si chiarisce, c'è qualcosa in particolare che non ti è chiaro ? Se posso cerco di scioglierti qualche dubbio volentieri !
"Relegal":
Vedrai che con il tempo tutto si chiarisce, c'è qualcosa in particolare che non ti è chiaro ? Se posso cerco di scioglierti qualche dubbio volentieri !
Grazie mille!Davvero molto gentile...Adesso rileggo tutto il paragrafo ripensando a quanto mi hai detto fin'ora e se non dovessi capire qualcosa (sicuro
) ti chiedo sempre quì....Grazie davvero per la disponibilità!
Ma figurati, ci mancherebbe !
Il mio libro, che sarebbe il Pagani Salsa della Zanichelli, cita così
quì quindi il tuo $C^1$ è $C^0$ o sbaglio?
Ogni funzione $f:[a,b] -> RR$ continua è integrabile. In simboli: $C^0([a,b]) sub R(a,b)$
quì quindi il tuo $C^1$ è $C^0$ o sbaglio?
"Samy21":
Il mio libro, che sarebbe il Pagani Salsa della Zanichelli, cita così
Ogni funzione $f:[a,b] -> RR$ continua è integrabile. In simboli: $C^0([a,b]) sub R(a,b)$
quì quindi il tuo $C^1$ è $C^0$ o sbaglio?
Non proprio ! $C^0 ( I )$ è l'insieme delle funzioni continue sull'intervallo $I$. Il teorema che hai citato afferma che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è integrabile. In altre parole, quello delle funzioni continue è un sottoinsieme delle funzioni integrabili, da qui la scrittura in simboli $C^0([a,b]) sub R(a,b)$.
$C^1 ( I )$ è invece l'insieme delle funzioni derivabili, e quindi continue, nell'intervallo $I$ con l'ulteriore proprietà per cui la derivata è una funzione continua. Detto in altro modo, $C^1 ( I )$ è l'insieme delle funzioni derivabili con continuità una volta.
Sono andata decisamente oltre
Tornando alla derivazione, il mio testo indica con $C^k(I)$ lo spazio delle funzioni k volte derivabili con continuità che è quanto hai espresso te.
Allora quando dice "se $f in C^1(I)$ allora la sua derivata $f^{\prime} in C^0(I)$" dove con $C^0$ indica le funzioni continue in $I$, intende dire che essendo su $C^1$ la $f$ sarà di primo grado, quindi nel momento in cui vado a calcolare la derivata prima ottengo una costante che pertanto non è nuovamente derivabile e per questo si trova in $C^0$... Oddio, spero di non aver detto una grande fesseria
Grazie ancora per la pazienza
Tornando alla derivazione, il mio testo indica con $C^k(I)$ lo spazio delle funzioni k volte derivabili con continuità che è quanto hai espresso te.
Allora quando dice "se $f in C^1(I)$ allora la sua derivata $f^{\prime} in C^0(I)$" dove con $C^0$ indica le funzioni continue in $I$, intende dire che essendo su $C^1$ la $f$ sarà di primo grado, quindi nel momento in cui vado a calcolare la derivata prima ottengo una costante che pertanto non è nuovamente derivabile e per questo si trova in $C^0$... Oddio, spero di non aver detto una grande fesseria
Grazie ancora per la pazienza
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