Calcolo derivata
Devo calcolare la seguente derivata
[tex]-\frac{d\arctan\left(\omega\tau\right)}{d\log_{10}\omega}[/tex]
E' corretto utilizzare questo tipo di procedimento?
Pongo $\lambda=\log_{10}\omega$ e calcolo
[tex]\[
-\frac{d\arctan\left(10^{\lambda}\tau\right)}{d\lambda}=-\frac{\tau10^{\lambda}}{1+10^{2\lambda}\tau^{2}}=-\frac{\tau\omega}{1+\tau^{2}\omega^{2}}\][/tex]
Il problema è che ponendo $\omega=1/\tau$ ho come risultato -1/2, e se la memoria non mi inganna un coefficiente angolare di -1/2 equivale ad una pendenza di $-\pi/8$, mentre a me dovrebbe uscire di $-\pi/4$
[tex]-\frac{d\arctan\left(\omega\tau\right)}{d\log_{10}\omega}[/tex]
E' corretto utilizzare questo tipo di procedimento?
Pongo $\lambda=\log_{10}\omega$ e calcolo
[tex]\[
-\frac{d\arctan\left(10^{\lambda}\tau\right)}{d\lambda}=-\frac{\tau10^{\lambda}}{1+10^{2\lambda}\tau^{2}}=-\frac{\tau\omega}{1+\tau^{2}\omega^{2}}\][/tex]
Il problema è che ponendo $\omega=1/\tau$ ho come risultato -1/2, e se la memoria non mi inganna un coefficiente angolare di -1/2 equivale ad una pendenza di $-\pi/8$, mentre a me dovrebbe uscire di $-\pi/4$
Risposte
"enpires":
Devo calcolare la seguente derivata
[tex]-\frac{d\arctan\left(\omega\tau\right)}{d\log_{10}\omega}[/tex]
Io comincerei con lo spiegare il significato del simbolo [tex]$\frac{\text{d} f(\omega )}{\text{d} g(\omega )}$[/tex] a noi comuni mortali...
Beh, siccome sto graficando un diagramma (per capirci quello di Bode) in una scala in cui sull'asse delle ascisse ho il logaritmo della pulsazione $\omega$, devo derivare rispetto alla variazione infinitesima del logaritmo di $\omega$, no?
Vabbé, ma così lo capiscono gli ingegneri forse...
I matematici non hanno bisogno di quattro chiacchiere intorno ad un disegnino quando chiedono spiegazioni, ma di definizioni precise.
Fermo restante il fatto che al simbolo [tex]\frac{\text{d} \arctan\left(\omega\tau\right)}{\text{d}\log_{10}\omega}[/tex] non è attribuito un significato preciso, credo comunque di aver capito il problema...
Hai una funzione della frequenza [tex]$\omega$[/tex] il cui grafico è disegnato su un diagramma con le frequenze in ascisse in scala logaritmica; vuoi sapere la pendenza del grafico in un punto di quel diagramma.
Siccome sulle ascisse hai [tex]$\omega^\star =\log_{10} \omega$[/tex], facendo il cambiamento di variabili trovi [tex]$\omega =10^{\omega^\star}$[/tex], quindi il tuo diagramma in scala logaritmica equivale al diagramma in scala naturale della funzione [tex]$F(\omega^\star )=f(10^{\omega^\star})$[/tex]; pertanto la pendenza che cerchi è data da:
[tex]$\frac{\text{d} F(\omega^\star)}{\text{d} \omega^\star} =\frac{\text{d}}{\text{d} \omega^\star} \left[ f(10^{\omega^\star} )\right] =f^\prime (10^{\omega^\star})\cdot (\ln 10 ) 10^{\omega^\star}$[/tex]
ossia da [tex]$\ln 10 \cdot \omega f^\prime(\omega)$[/tex].
Quindi credo che il tuo problema sia che hai dimenticato un logaritmo per la strada quando hai derivato...
Per [tex]$\omega =\frac{1}{\tau}$[/tex] la formula precedente (col meno davanti) dà [tex]$-\frac{1}{2}\ln 10$[/tex] che restituisce una pendenza [tex]$\vartheta =-\arctan \left( \frac{1}{2}\ln 10\right) <-\frac{\pi}{4}$[/tex], ma con uno scarto di [tex]$0.07$[/tex], che non so se può andarti bene.
I matematici non hanno bisogno di quattro chiacchiere intorno ad un disegnino quando chiedono spiegazioni, ma di definizioni precise.
Fermo restante il fatto che al simbolo [tex]\frac{\text{d} \arctan\left(\omega\tau\right)}{\text{d}\log_{10}\omega}[/tex] non è attribuito un significato preciso, credo comunque di aver capito il problema...
Hai una funzione della frequenza [tex]$\omega$[/tex] il cui grafico è disegnato su un diagramma con le frequenze in ascisse in scala logaritmica; vuoi sapere la pendenza del grafico in un punto di quel diagramma.
Siccome sulle ascisse hai [tex]$\omega^\star =\log_{10} \omega$[/tex], facendo il cambiamento di variabili trovi [tex]$\omega =10^{\omega^\star}$[/tex], quindi il tuo diagramma in scala logaritmica equivale al diagramma in scala naturale della funzione [tex]$F(\omega^\star )=f(10^{\omega^\star})$[/tex]; pertanto la pendenza che cerchi è data da:
[tex]$\frac{\text{d} F(\omega^\star)}{\text{d} \omega^\star} =\frac{\text{d}}{\text{d} \omega^\star} \left[ f(10^{\omega^\star} )\right] =f^\prime (10^{\omega^\star})\cdot (\ln 10 ) 10^{\omega^\star}$[/tex]
ossia da [tex]$\ln 10 \cdot \omega f^\prime(\omega)$[/tex].
Quindi credo che il tuo problema sia che hai dimenticato un logaritmo per la strada quando hai derivato...
Per [tex]$\omega =\frac{1}{\tau}$[/tex] la formula precedente (col meno davanti) dà [tex]$-\frac{1}{2}\ln 10$[/tex] che restituisce una pendenza [tex]$\vartheta =-\arctan \left( \frac{1}{2}\ln 10\right) <-\frac{\pi}{4}$[/tex], ma con uno scarto di [tex]$0.07$[/tex], che non so se può andarti bene.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo