Calcolo derivata 2 variabili

[peppe1992-votailprof]

Salve a tutti ho un dubbio riguardante il calcolo delle derivate parziali di questa funzione in \( \mathbb{R}^2 \) :

\[
f(x_1,x_2) := \begin{cases}
x_1-x_2 &\text{, quando } x_1\geq0 \text{ o } x_2\geq0 \\ 0 &\text{, quando } x_1<0 \text{ e } x_2<0
\end{cases}
\]


Le derivate mi servono calcolate in $(0,0)$ e le ho calcolate come:
$ df(x_1,x_2)/dx_1 =1 $

e $ df(x_1,x_2)/dx_2 =-1 $

dunnque in $(0,0)$
$ df(0,0)/dx_1 =1 $

e $ df(0,0)/dx_2 =-1 $


ma nel mio libro c'è scritto che entrambe valgono $0$

Qualcuno potrebbe darmi una mano a capire? Grazie tante

[gugo82]

Facciamo un esempio in una variabile.

Come calcoleresti la derivata in $0$ della funzione:

$f(x):=\{(1 , ", se " x!=0), (0 , ", se " x=0):}$?

[peppe1992-votailprof]

In questo caso direi che la funzione non è derivabile in 0

[gugo82]

E perché? Come fai?

[peppe1992-votailprof]

Applicando la definizione del limite del rapporto incrementale ottengo:

\( \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \frac{1}{h} \)

quindi per $h->0$ il limite tende ad infinito e dunque la derivata non esiste.

[gugo82]

Bravo, appunto.
E perché non fai lo stesso nel caso di due variabili?

[peppe1992-votailprof]

Grazie per la risposta.
Io ho fatto
$df/dx_1$ =$ \lim_{h\rightarrow 0^} \frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h} = 1$

$df/dx_2$ = $\lim_{h\rightarrow 0^} \frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h} = -1$

[gugo82]

Beh, rileggendo il testo dell'esercizio, hai ragione.

Infatti, hai:
\[
\lim_{h\to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h}{h} = 1
\]
quindi $(partial f)/(partial x_1) (0,0) = 1$; anche l'altro calcolo è fatto bene.

L'unica cosa che mi viene in mente è che chi ha scritto l'esercizio potrebbe aver commesso un errore di battitura nel testo.

[peppe1992-votailprof]

Grazie mille per avermi aiutato