Calcolo delle soluzioni di una ODE sempliciotta

[giuscri]

Voglio calcolare tutte le soluzioni di
\[y^{(2)} - 2y' + 5y = e^x \cos{(2x)}\]
dove tutte le soluzioni dell'omogenea sono date da
\[y_H(x) = c_1 e^x \sin{(2x)} + c_2 e^x \cos{(2x)} \qquad \forall{c_1,c_2 \in \mathbb{R}}\]

Ora... che combino? O uso Lagrange o tiro fuori dal cappello che una soluzione funzionante e'
\[y^{*}(x) = xe^x [C \sin{(2x)} + D \cos{(2x)}]\]
con \(C\) e \(D\) tutti da determinare.

Entrambe le strade portano ad uno spaghetti-computing. Ci sono modi piu' agili per muoversi? O sono solo prigro?

Ringrazio

[Quinzio]

Delle scorciatoie ce n'è qualcuna, forse una.
Il problema è che sono tutti magheggi e giochi di prestigio che sono più utili per dare spettacolo che altro.
Del resto c'è un motivo se hanno inventato i calcolatori e il calcolo automatico.

$y=xe^x(Acos2x+Bsin2x)=xa(x)=xa$ (semplifichiamo i simboli)

$y'=a+xa'$

$y''=a'+a'+xa''=2a'+xa''$

Quindi:

$y''-2y'+5y=2a'+xa''-2a-2xa'+5xa=2a'-2a+x(a''-2a'+5a)$

$a''-2a'+5a=0$ perchè soluzione dell''omogenea.

Rimane

$2(a'-a)=e^xcos2x$

$2(-2Asin2x+2Bcos2x)-2(Acos2x+Bsin2x)=cos2x$

$-4A-2B=0,\ \ \ 4B-2A=1$

$A=-1/6, B=1/3$ salvo errori.