Calcolo delle radici complesse ennesime di X

[Denny8x]

salve vorrei sapere se esiste un algoritmo per il calcolo delle radici complesse ennesime di un numero

per esempio è noto che le radici quadrate complesse di -1 sono (0,i) e (0,-i) , ma se io volessi calcolare le radici terze di -1 ? una sarebbe (-1,0) , ma le altre 2 come le calcolo ? in generale le radici ennesime complesse di X (dove X è reale) è possibile stabilirle tramite un algoritmo? spero di essere stato sufficentemente chiaro grazie a tutti

[raff5184]

stavo per scrivere una cavolata, ho tolto subito il post. Allora: (un attimo che scrivo le formule)

vogliamo radice n di x: $([n]sqrt(x))$ quella $[n]$ sta per rdice n-ma

allora poniamo: $([n]sqrt(x)) =$ad un certo numero elevato a n = $w^n$ dove w è un numero complesso ed è la nostra radice.
Essendo un numero complesso lo posso scrivere come modulo e fase: $w=[m,phi]$
Anche x nell'insieme dei numeri complessi ha modulo e fase, la fase è zero: $x = [r,0]$

allora w si calcola così:

$m = r^(1/n)$ e questo è ovvio.
$phi = (2kpi)/n$ dove $k$ è un intero che varia tra: $0<=k<=(n-1)$. Facendo variare k ottieni le tre radici che cerchi, cioè ottieni n valori di w. Queste w hanno stesso modulo e fasi diverse

[Nebula2]

poniamo $x=r e^{it}$ (r modulo di x, t argomento principale di x)

allora $x^{1/n}=r^{1/n}e^{(it+2k\pi)/n}$ con $0
(mi sembra)

[Denny8x]

@raff esatto è proprio quello che cerco di capire sono arrivato ad alcune conclusioni tipo che se c $in$ C è radice allora lo è anche il coniugato, quindi le radici complesse saranno sempre in numero pari però oltre non ci sono arrivato

[Denny8x]

grazie nebula controllo un pò se mi ritrovo e ti dico

[_nicola de rosa]

"Nebula":poniamo $x=r e^{it}$ (r modulo di x, t argomento principale di x)

allora $x^{1/n}=r^{1/n}e^{(it+2k\pi)/n}$ con $0
(mi sembra)

$0<=k

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[Nebula2]

"nicola de rosa":[quote="Nebula"]poniamo $x=r e^{it}$ (r modulo di x, t argomento principale di x)

allora $x^{1/n}=r^{1/n}e^{(it+2k\pi)/n}$ con $0
(mi sembra)

$0<=k
ggggià

[raff5184]

ho scritto. Se non capisci qlc fammi sapere

[Nebula2]

"Denny8x":sono arrivato ad alcune conclusioni tipo che se c $in$ C è radice allora lo è anche il coniugato

direi di no. i è una radice terza di -i, mentre -i è una radice terza di i.

[Denny8x]

"Nebula":[quote="Denny8x"]sono arrivato ad alcune conclusioni tipo che se c $in$ C è radice allora lo è anche il coniugato

direi di no. i è una radice terza di -i, mentre -i è una radice terza di i.[/quote]

forse mi sono espresso male... c $in$ C radice di X => c_coniugato radice di X

[raff5184]

a me sembra la stessa cosa di quello che hai detto a parole

[Nebula2]

"Denny8x":[quote="Nebula"][quote="Denny8x"]sono arrivato ad alcune conclusioni tipo che se c $in$ C è radice allora lo è anche il coniugato

direi di no. i è una radice terza di -i, mentre -i è una radice terza di i.[/quote]

forse mi sono espresso male... c $in$ C radice di X => c_coniugato radice di X[/quote]

allora i è una radice terza di -i dovrebbe implicare che -i è una radice terza di -i. che è falso.

[Denny8x]

@ nebula

non puoi confutare una tesi se a monte non hai rispettato le ipotesi su cui si basava se vedi il primo post ho scritto chiaramente che X $in$ $RR$ il tuo esempio per quanto giusto formalmente prende X $in$ $CC$ penso comunque che sia dimostrabile quello che sostenevo, con il corollario ovvio che se facciamo una radice di ordine 2n+1 almeno una delle 2n+1 radici sarà reale