Calcolo delle primitive
sono giorni che mi esercito sugli integrali ma ancora non riesco a risolverne diversi
Quelli che non riesco proprio a capire oltre ad eventuali errori sono questi tre:
$\int (x^5-x+1)/(x^4+x^2) dx$, $\int 2/(1 + tan x)^2 dx$, $int \(x+1)/(x^3+1) dx$.
Qualcuno mi può aiutare?
Quelli che non riesco proprio a capire oltre ad eventuali errori sono questi tre:
$\int (x^5-x+1)/(x^4+x^2) dx$, $\int 2/(1 + tan x)^2 dx$, $int \(x+1)/(x^3+1) dx$.
Qualcuno mi può aiutare?
Risposte
Per il primo avresti a disposizione molti metodi di risoluzione, ma l'obiettivo essenziale è ridurre il grado del numeratore; una via è questa: \[\int\frac{x^5-x^2-x+x^2+1}{x^2(x^2+1)}\mathrm{d}x=\int\left(\frac{1}{x^2}+\frac{x^4-x-1}{x(x^2+1)}\right)\mathrm{d}x=\int\left(\frac{1}{x^2}+\frac{(x^2+1)(x^2-1)-x}{x(x^2+1)}\right)\mathrm{d}x=\int\left(\frac{1}{x^2}+x-\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x^2}\right)\mathrm{d}x\] ed è risolto.
Venendo al secondo: \[\int\frac{2}{1+2\tan{x}+\tan^2{x}}\mathrm{d}x=\int\frac{2\cos^2{x}}{\cos^2{x}+2\sin{x}\cos{x}+\sin^2{x}}\mathrm{d}x=\int\frac{1+\cos{2x}}{1+\sin{2x}}\mathrm{d}x\] Scomponendo in due la frazione rimangono due integrali di cui uno immediato e l'altro: \[\int\frac{1}{1+\sin{2x}}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{(\cos{x}+\sin{x})^2}\mathrm{d}x=\int\frac{\frac{1}{\cos^2{x}}}{(1+\tan{x})^2}\mathrm{d}x=-\frac{1}{1+\tan{x}}+k,\quad k\in\mathbb{R}\] Infine - ultimo integrale - dopo esser giunti a \(\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2-x+1}\) bisogna ricondursi alla forma \(\int\frac{f'(x)}{1+f^2(x)}\mathrm{d}x\), la cui primitiva è l'arcotangente di \(f\): saresti in grado di farlo?
Venendo al secondo: \[\int\frac{2}{1+2\tan{x}+\tan^2{x}}\mathrm{d}x=\int\frac{2\cos^2{x}}{\cos^2{x}+2\sin{x}\cos{x}+\sin^2{x}}\mathrm{d}x=\int\frac{1+\cos{2x}}{1+\sin{2x}}\mathrm{d}x\] Scomponendo in due la frazione rimangono due integrali di cui uno immediato e l'altro: \[\int\frac{1}{1+\sin{2x}}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{(\cos{x}+\sin{x})^2}\mathrm{d}x=\int\frac{\frac{1}{\cos^2{x}}}{(1+\tan{x})^2}\mathrm{d}x=-\frac{1}{1+\tan{x}}+k,\quad k\in\mathbb{R}\] Infine - ultimo integrale - dopo esser giunti a \(\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2-x+1}\) bisogna ricondursi alla forma \(\int\frac{f'(x)}{1+f^2(x)}\mathrm{d}x\), la cui primitiva è l'arcotangente di \(f\): saresti in grado di farlo?
Si all'ultimo mi ero dimenticato il segno di integrale scusa, ho modificato il post, comunque, abbi pazienza non mi è chiaro come hai fatto a scomporre in somma il primo integrale e al terzo non riesco ad arrivare alla forma $\int dx/(x^2-x+1)dx$
Per il primo integrale è molto più semplice fare una divisione tra polinomi.
Infatti, dividendo $x^5-x+1$ per $x^4+x^2$ si trova:
\[
x^5 - x +1 = x\ (x^4+x^2) + (-x^3-x+1)
\]
da cui segue immediatamente:
\[
\frac{x^5 - x +1}{x^4 + x^2} = x - \frac{x^3 + x -1}{(x^2 (x^2+1)}\; .
\]
Per scomporre l'ultima frazione o ricorro ai fratti semplici oppure sommo e sottraggo al numeratore per "completare" qualche fattore da semplificare col denominatore: scegliendo questa seconda strada:
\[
\begin{split}
\frac{x^3 + x -1}{(x^2 (x^2+1)} &= \frac{x^3 +x^2 +x - (x^2+1)}{x^2(x^2+1)}\\
&=\frac{x^3 +x^2 +x}{x^2(x^2+1)} - \frac{x^2+1}{x^2(x^2+1)}\\
&=\frac{x^2 +x +1}{x(x^2+1)} - \frac{1}{x^2}\\
&=\frac{x}{x(x^2+1)} + \frac{x^2+1}{x(x^2+1)} - \frac{1}{x^2}\\
&=\frac{1}{x^2+1} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\; ;
\end{split}
\]
dunque:
\[
\frac{x^5 - x +1}{x^4 + x^2} = x + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2+1}\; .
\]
Per il secondo, tieni presente che funziona pure la sostituzione $t=\tan x$: infatti trovi:
\[
\int \frac{1}{(1+\tan x)^2}\ \text{d} x \stackrel{t=\tan x}{=} \int \frac{1}{(1+t)^2}\ \frac{1}{1+t^2}\ \text{d} t
\]
con l'integrale al secondo membro razionale e calcolabile scomponendo in fratti semplici o usando la formula di Hermite: in questo secondo modo, devi determinare le costanti $A,B,C,a$ in modo che:
\[
\begin{split}
\frac{1}{(1+t)^2 (1+t^2)} &= \frac{A}{1+t} + \frac{Bt+C}{1+t^2} + \frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ \frac{a}{1+t}\right]\\
&= \frac{A}{1+t} + \frac{Bt+C}{1+t^2} - \frac{a}{(1+t)^2}\\
&= \frac{A(1+t)(1+t^2) + (Bt+C)(1+t)^2 - a (1+t^2)}{(1+t)^2(1+t^2)}\\
&=\frac{(A+B)t^3 + (A+2B+C-a)t^2+(A+B+2C)t+(A+C-a)}{(1+t)^2(1+t^2)}
\end{split}
\]
da cui segue:
\[
\begin{cases}
B=-\frac{1}{2}\\
A=\frac{1}{2}\\
C=0\\
a=-\frac{1}{2}
\end{cases}
\]
e perciò:
\[
\frac{1}{(1+t)^2}\ \frac{1}{1+t^2} = \frac{1}{2(1+t)} - \frac{t}{1+t^2} - \frac{\text{d}}{\text{d} t}\left[ \frac{1}{2(1+t)}\right]\; .
\]
Dunque l'integrale diventa banale.
Nel terzo, come diceva giustamente seb, basta semplificare il semplificabile e poi completare il quadrato al denominatore per ricondursi ad un integrale del tipo dell'arcotangente.
Infatti, dividendo $x^5-x+1$ per $x^4+x^2$ si trova:
\[
x^5 - x +1 = x\ (x^4+x^2) + (-x^3-x+1)
\]
da cui segue immediatamente:
\[
\frac{x^5 - x +1}{x^4 + x^2} = x - \frac{x^3 + x -1}{(x^2 (x^2+1)}\; .
\]
Per scomporre l'ultima frazione o ricorro ai fratti semplici oppure sommo e sottraggo al numeratore per "completare" qualche fattore da semplificare col denominatore: scegliendo questa seconda strada:
\[
\begin{split}
\frac{x^3 + x -1}{(x^2 (x^2+1)} &= \frac{x^3 +x^2 +x - (x^2+1)}{x^2(x^2+1)}\\
&=\frac{x^3 +x^2 +x}{x^2(x^2+1)} - \frac{x^2+1}{x^2(x^2+1)}\\
&=\frac{x^2 +x +1}{x(x^2+1)} - \frac{1}{x^2}\\
&=\frac{x}{x(x^2+1)} + \frac{x^2+1}{x(x^2+1)} - \frac{1}{x^2}\\
&=\frac{1}{x^2+1} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\; ;
\end{split}
\]
dunque:
\[
\frac{x^5 - x +1}{x^4 + x^2} = x + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2+1}\; .
\]
Per il secondo, tieni presente che funziona pure la sostituzione $t=\tan x$: infatti trovi:
\[
\int \frac{1}{(1+\tan x)^2}\ \text{d} x \stackrel{t=\tan x}{=} \int \frac{1}{(1+t)^2}\ \frac{1}{1+t^2}\ \text{d} t
\]
con l'integrale al secondo membro razionale e calcolabile scomponendo in fratti semplici o usando la formula di Hermite: in questo secondo modo, devi determinare le costanti $A,B,C,a$ in modo che:
\[
\begin{split}
\frac{1}{(1+t)^2 (1+t^2)} &= \frac{A}{1+t} + \frac{Bt+C}{1+t^2} + \frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ \frac{a}{1+t}\right]\\
&= \frac{A}{1+t} + \frac{Bt+C}{1+t^2} - \frac{a}{(1+t)^2}\\
&= \frac{A(1+t)(1+t^2) + (Bt+C)(1+t)^2 - a (1+t^2)}{(1+t)^2(1+t^2)}\\
&=\frac{(A+B)t^3 + (A+2B+C-a)t^2+(A+B+2C)t+(A+C-a)}{(1+t)^2(1+t^2)}
\end{split}
\]
da cui segue:
\[
\begin{cases}
B=-\frac{1}{2}\\
A=\frac{1}{2}\\
C=0\\
a=-\frac{1}{2}
\end{cases}
\]
e perciò:
\[
\frac{1}{(1+t)^2}\ \frac{1}{1+t^2} = \frac{1}{2(1+t)} - \frac{t}{1+t^2} - \frac{\text{d}}{\text{d} t}\left[ \frac{1}{2(1+t)}\right]\; .
\]
Dunque l'integrale diventa banale.
Nel terzo, come diceva giustamente seb, basta semplificare il semplificabile e poi completare il quadrato al denominatore per ricondursi ad un integrale del tipo dell'arcotangente.
"gugo82":
Per il primo integrale è molto più semplice fare una divisione tra polinomi.
Mi sembra più semplice la mia alternativa perché poi fai esattamente ciò che faccio io da subito senza ricorrere alla divisione fra polinomi e cioè, per scomporre la frazione, "sommo e sottraggo al numeratore per 'completare' qualche fattore da semplificare col denominatore". Spero anche che questo sia di chiarimento a simoorusso su come avevo risolto. Comunque son tutte vie lecite! E impararle tutte non fa poi tanto male, dato che se non sai, simoorusso, come scomporre la somma di cubi, puoi sempre fare una divisione fra polinomi
Tutti e tre si possono risolvere con i fratti semplici che per me è la più lineare; ciò non significa che sia la migliore o la più semplice o la più facile ma solo che funziona sempre ed in maniera "meccanica" ... è un po' come la coperta di Linus 
... tu sai che si può sempre fare (in casi come questi ovviamente), se poi trovi di meglio ... benissimo ... 
Cordialmente, Alex
... tu sai che si può sempre fare (in casi come questi ovviamente), se poi trovi di meglio ... benissimo ... Cordialmente, Alex
Ok, ora però ancora non mi capacito di come si passi dalla forma $\int1/(x^2−x+1)dx$ ad un integrale del tipo dell'arcotangente 
Come porgeva gugo82, bisogna "completare il quadrato al denominatore". Ciò significa (con qualche semplificazione che si adatta al nostro caso) ricondursi alla forma \((x+\alpha)^2+\beta\), con \(\alpha\) e \(\beta\) delle costanti. Prova ad applicare questo concetto al denominatore. Fa' sapere 
Quindi sarebbe $\int1/((1+x^2)-x+1-1) dx = int1/((1+x^2)-x) dx$ e poi sostituisco $\1+x^2=t$ e vado avanti cosi?
\(\alpha\) e \(\beta\) costanti! "\(+1-1\)"? In più il termine che hai riportato in parentesi non è un quadrato. Si procede in questa maniera: escludi la costante e consideri solamente il termine \(x^2-x\) per cercare di renderlo simile a un quadrato; si ha:\[x^2-x=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\] Allora, tenendo conto di tutto, si ottiene: \(x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\). Nell'integrale: \[\int\frac{\mathrm{d}x}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}=\int\frac{\mathrm{d}x}{\frac{3}{4}\left[\frac{4}{3}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+1\right]}=\frac{2}{\sqrt{3}}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\left[\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{2}\right)\right]^2+1}\mathrm{d}x\]
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