Calcolo delle aree
Buonasera a tutti, ho problemi a risolvere questo esercizio:
Determinare le aree delle regioni specificate nel seguente esercizio:
Sotto $e^x $ con $ y=0 $ da $ x=0 $ ad $ x=b $ con $ b>0 $
Il mio tentativo di soluzione (mi sono bloccato) :
Ho imparato dal libro su cui si trova questo esercizio che l'area del sottografico di questa funzione posso vederla come la somma delle aree dei singoli rettangoli che compongono il sottografico stesso, quindi ho cercato di calcolare innanzitutto la somma per i che va da 1 ad n di Xi * DXi (con l'intenzione di farne poi il limite per x--->+infinito), dove con Xi intendo l'altezza del singolo rettangolino e con DXi la base.
La base dell'i-esimo rettangolino è uguale a $ b/n $ mentre l'altezza dello stesso è uguale a $ e^((b*i)/n) $
Ed è qui che mi blocco, ho portato $ b/n $ fuori dalla sommatoria scrivendo
$b/n * \sum_(i=1)^n e^((b*i)/n) $
Ora come proseguo? Devo per forza imparare a fare gli esercizi con questo metodo...
Vi ringrazio in anticipo
PS. ho notato che un termine si vede troppo piccolo, si tratta di e elevato a b*i/n, non sono riuscito ad ingrandirlo
Determinare le aree delle regioni specificate nel seguente esercizio:
Sotto $e^x $ con $ y=0 $ da $ x=0 $ ad $ x=b $ con $ b>0 $
Il mio tentativo di soluzione (mi sono bloccato) :
Ho imparato dal libro su cui si trova questo esercizio che l'area del sottografico di questa funzione posso vederla come la somma delle aree dei singoli rettangoli che compongono il sottografico stesso, quindi ho cercato di calcolare innanzitutto la somma per i che va da 1 ad n di Xi * DXi (con l'intenzione di farne poi il limite per x--->+infinito), dove con Xi intendo l'altezza del singolo rettangolino e con DXi la base.
La base dell'i-esimo rettangolino è uguale a $ b/n $ mentre l'altezza dello stesso è uguale a $ e^((b*i)/n) $
Ed è qui che mi blocco, ho portato $ b/n $ fuori dalla sommatoria scrivendo
$b/n * \sum_(i=1)^n e^((b*i)/n) $
Ora come proseguo? Devo per forza imparare a fare gli esercizi con questo metodo...
Vi ringrazio in anticipo
PS. ho notato che un termine si vede troppo piccolo, si tratta di e elevato a b*i/n, non sono riuscito ad ingrandirlo
Risposte
Ciao,
ci sei, vedila come: $sum (e^(b/n))^i$, hai una somma del tipo $sum q^i$
Ti ricordo che $sum_(i=0)^n q^i= (1-q^(n+1))/(1-q)$
ci sei, vedila come: $sum (e^(b/n))^i$, hai una somma del tipo $sum q^i$
Ti ricordo che $sum_(i=0)^n q^i= (1-q^(n+1))/(1-q)$
Grazie mille per la risposta @Ziben ma mi sono bloccato nuovamente nel calcolo del limite. Riassumo i miei passaggi:
Ho pensato, se la scrittura in forma compatta vale per i che va da 0 ad n, allora siccome io ho i che va da 1 a n, semplicemente scrivo che la sommatoria $ sum_(i=1)^n e^((b/n)^i) = (sum_(i=0)^n e^((b/n)^i)) - e^((b/n)^0) $
Quindi $ e^((b/n)^0) = 1 $. Giusto no?
Ora trasformo la somma delle altezze nella formula compatta che mi hai fatto ricordare quindi scrivo:
$(sum_(i=0)^n e^((b/n)^i)) - 1 = (1-e^((b/n)*(n+1))) / (1 - e^(b/n)) - 1$
E adesso siccome nel calcolo dell'area dovevo moltiplicare quest'ultima quantità per $ b/n $ scrivo:
$ b/n * ((1-e^((b/n)*(n+1))) / (1 - e^(b/n)) - 1) $
E ora devo farne il $ lim_(n->+infty)$...ma il risultato che mi viene è errato...
Ho provato a fare così:
$ lim_(n->+infty) b/n * ((1-e^((b/n)*(n+1))) / (1 - e^(b/n)) - 1) = lim_(n->+infty) b * ((1-e^(b+(b/n)))/(1-e^(b/n))) - 1 = lim_(n->+infty) b *( (1- e^b * e^(b/n))/(1-e^(b/n))) - 1 $
E ora come risolvo il limite? Ho provato, ma giungo prima della risoluzione a $ b * (-e^b + 1)/n -1 $ e credo che sia sbagliato dato che mi dovrebbe
venire $ e^b -1 $
Come posso continuare/rifare il procedimento ?
Ho pensato, se la scrittura in forma compatta vale per i che va da 0 ad n, allora siccome io ho i che va da 1 a n, semplicemente scrivo che la sommatoria $ sum_(i=1)^n e^((b/n)^i) = (sum_(i=0)^n e^((b/n)^i)) - e^((b/n)^0) $
Quindi $ e^((b/n)^0) = 1 $. Giusto no?
Ora trasformo la somma delle altezze nella formula compatta che mi hai fatto ricordare quindi scrivo:
$(sum_(i=0)^n e^((b/n)^i)) - 1 = (1-e^((b/n)*(n+1))) / (1 - e^(b/n)) - 1$
E adesso siccome nel calcolo dell'area dovevo moltiplicare quest'ultima quantità per $ b/n $ scrivo:
$ b/n * ((1-e^((b/n)*(n+1))) / (1 - e^(b/n)) - 1) $
E ora devo farne il $ lim_(n->+infty)$...ma il risultato che mi viene è errato...
Ho provato a fare così:
$ lim_(n->+infty) b/n * ((1-e^((b/n)*(n+1))) / (1 - e^(b/n)) - 1) = lim_(n->+infty) b * ((1-e^(b+(b/n)))/(1-e^(b/n))) - 1 = lim_(n->+infty) b *( (1- e^b * e^(b/n))/(1-e^(b/n))) - 1 $
E ora come risolvo il limite? Ho provato, ma giungo prima della risoluzione a $ b * (-e^b + 1)/n -1 $ e credo che sia sbagliato dato che mi dovrebbe
venire $ e^b -1 $
Come posso continuare/rifare il procedimento ?
Ciao.
innanzi tutto hai
$b/n (sum_(i=0)^n (e^(b/n))^i -1)$ quindi dopo i calcoli ti ritrovi con:
$b/n((1-e^be^(b/n))/(1-e^(b/n))-1)$ si fa il minimo comune multiplo e si trova:
$b/n(e^(b/n)-e^be^(b/n))/(1-e^(b/n)) = (b/n)/(1-e^(b/n))e^(b/n)(1-e^b)$ il primo fattore è un limite notevole che tende a $-1$
Ti faccio notare che potevi partire da $b/n sum_(i=0)^(n-1) (e^(b/n))^i$ avresti ottenuto lo stesso risultato (in realtà dovresti calcolare anche il limite di questa somma). Perché?
innanzi tutto hai
$b/n (sum_(i=0)^n (e^(b/n))^i -1)$ quindi dopo i calcoli ti ritrovi con:
$b/n((1-e^be^(b/n))/(1-e^(b/n))-1)$ si fa il minimo comune multiplo e si trova:
$b/n(e^(b/n)-e^be^(b/n))/(1-e^(b/n)) = (b/n)/(1-e^(b/n))e^(b/n)(1-e^b)$ il primo fattore è un limite notevole che tende a $-1$
Ti faccio notare che potevi partire da $b/n sum_(i=0)^(n-1) (e^(b/n))^i$ avresti ottenuto lo stesso risultato (in realtà dovresti calcolare anche il limite di questa somma). Perché?
Grazie mille, ora ci sono. Ma quel limite notevole da dove salta fuori? Non lo conoscevo proprio...
Si tratta della generalizzazione del limite notevole:
$\lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$ Infatti si ha che
$(e^(f(x))-1)/(f(x)) \rightarrow 1$ se, per $x$ che tende a un valore finito o all'infinito, $f(x)->0$
$\lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$ Infatti si ha che
$(e^(f(x))-1)/(f(x)) \rightarrow 1$ se, per $x$ che tende a un valore finito o all'infinito, $f(x)->0$
Ti ringrazio davvero, finalmente ho capito 
Quel limite notevole lo conoscevo ma non lo avevo riconosciuto perché numeratore e denominatore erano invertiti e perché inoltre dovevo moltiplicare per -1 il denominatore ed il numeratore. Adesso è tutto chiaro.
Grazie ancora, a presto
Quel limite notevole lo conoscevo ma non lo avevo riconosciuto perché numeratore e denominatore erano invertiti e perché inoltre dovevo moltiplicare per -1 il denominatore ed il numeratore. Adesso è tutto chiaro.
Grazie ancora, a presto
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