Calcolo della varianza mediante integrali
Salve a tutti, sono alle prese con questo esercizio:
Sia $ mu $ una misura su $R^+$ tale che $mu([a;b])<+infty$ per ogni intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ e sia $ Y_t=int _(0)^(t) X_s mu d(s) $. Se $X$ è un moto Browniano, calcolare la varianza di $Y_t$ .
Se con $K_(s,t) = E(Y_t,Y_s)$ indichiamo la funzione di covarianza, applicando il teorema di Fubini (che ci permette di portare il valore atteso all'interno del segno di integrale) si ha
$ K_(s,t)=E(int_0^tX_udmu(u)int_0^sX_vdmu(v))= int_0^tdmu(u)int_0^sE(X_uX_v)dmu(v) $
Da qui, poichè per un moto Browniano è noto che $E(X_uX_v) =min(u,v)=u^^v$, risulta
$K_(s,t)=int_0^tdmu(u)int_0^su^^vdmu(v) $
A questo punto si può procedere col calcolo della varianza e qui sorge il mio dubbio; il testo dice
$ sigma _t^2=K_(t,t)=E(Y_t,Y_t)=int_0^tdmu(u)int_0^tu^^vdmu(v)=int_0^tdmu(u)int_0^uvdmu(v)+int_0^tdmu(u)int_u^tudmu(v)$
i primi passaggio sono ovviamente chiari ma non riesco a capire perchè sussiste l'ultima relazione
Qualcuno di buon cuore potrebbe aiutarmi?
Sia $ mu $ una misura su $R^+$ tale che $mu([a;b])<+infty$ per ogni intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ e sia $ Y_t=int _(0)^(t) X_s mu d(s) $. Se $X$ è un moto Browniano, calcolare la varianza di $Y_t$ .
Se con $K_(s,t) = E(Y_t,Y_s)$ indichiamo la funzione di covarianza, applicando il teorema di Fubini (che ci permette di portare il valore atteso all'interno del segno di integrale) si ha
$ K_(s,t)=E(int_0^tX_udmu(u)int_0^sX_vdmu(v))= int_0^tdmu(u)int_0^sE(X_uX_v)dmu(v) $
Da qui, poichè per un moto Browniano è noto che $E(X_uX_v) =min(u,v)=u^^v$, risulta
$K_(s,t)=int_0^tdmu(u)int_0^su^^vdmu(v) $
A questo punto si può procedere col calcolo della varianza e qui sorge il mio dubbio; il testo dice
$ sigma _t^2=K_(t,t)=E(Y_t,Y_t)=int_0^tdmu(u)int_0^tu^^vdmu(v)=int_0^tdmu(u)int_0^uvdmu(v)+int_0^tdmu(u)int_u^tudmu(v)$
i primi passaggio sono ovviamente chiari ma non riesco a capire perchè sussiste l'ultima relazione
Qualcuno di buon cuore potrebbe aiutarmi?
Risposte
Ciao fifty_50,
Direi che nel secondo integrale ha semplicemente spezzato l'intervallo $[0, t] = [0, u] \cup [u, t] $, sicché si ha:
$ \int_0^t \text{d}\mu(u)\int_0^t u^^v \text{d}\mu(v) = \int_0^t \text{d}\mu(u)\int_0^t min(u,v) \text{d}\mu(v) = $
$ = \int_0^t \text{d}\mu(u) [\int_0^u min(u,v) \text{d}\mu(v) + \int_u^t min(u,v) \text{d}\mu(v)] = \int_0^t \text{d}\mu(u) [\int_0^u v \text{d}\mu(v) + \int_u^t u \text{d}\mu(v)] = $
$ = \int_0^t \text{d}\mu(u) \int_0^u v \text{d}\mu(v) + \int_0^t \text{d}\mu(u) \int_u^t u \text{d}\mu(v) $
"fifty_50":
il testo dice
$\sigma_t^2=K_(t,t)=E(Y_t,Y_t)=\int_0^td\mu(u)\int_0^tu^^vd\mu(v)=\int_0^td\mu(u)\int_0^uvd\mu(v)+\int_0^td\mu(u)\int_u^tud\mu(v) $
Direi che nel secondo integrale ha semplicemente spezzato l'intervallo $[0, t] = [0, u] \cup [u, t] $, sicché si ha:
$ \int_0^t \text{d}\mu(u)\int_0^t u^^v \text{d}\mu(v) = \int_0^t \text{d}\mu(u)\int_0^t min(u,v) \text{d}\mu(v) = $
$ = \int_0^t \text{d}\mu(u) [\int_0^u min(u,v) \text{d}\mu(v) + \int_u^t min(u,v) \text{d}\mu(v)] = \int_0^t \text{d}\mu(u) [\int_0^u v \text{d}\mu(v) + \int_u^t u \text{d}\mu(v)] = $
$ = \int_0^t \text{d}\mu(u) \int_0^u v \text{d}\mu(v) + \int_0^t \text{d}\mu(u) \int_u^t u \text{d}\mu(v) $
"pilloeffe":
Ciao fifty_50,
[quote="fifty_50"] il testo dice
$\sigma_t^2=K_(t,t)=E(Y_t,Y_t)=\int_0^td\mu(u)\int_0^tu^^vd\mu(v)=\int_0^td\mu(u)\int_0^uvd\mu(v)+\int_0^td\mu(u)\int_u^tud\mu(v) $
Direi che nel secondo integrale ha semplicemente spezzato l'intervallo $[0, t] = [0, u] \cup [u, t] $, sicché si ha:
$ \int_0^t \text{d}\mu(u)\int_0^t u^^v \text{d}\mu(v) = \int_0^t \text{d}\mu(u)\int_0^t min(u,v) \text{d}\mu(v) = $
$ = \int_0^t \text{d}\mu(u) [\int_0^u min(u,v) \text{d}\mu(v) + \int_u^t min(u,v) \text{d}\mu(v)] = \int_0^t \text{d}\mu(u) [\int_0^u v \text{d}\mu(v) + \int_u^t u \text{d}\mu(v)] = $
$ = \int_0^t \text{d}\mu(u) \int_0^u v \text{d}\mu(v) + \int_0^t \text{d}\mu(u) \int_u^t u \text{d}\mu(v) $[/quote]
Grazie mille, è chiarissimo ora!!!
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