Calcolo della somma di una serie

[kondor1]

Salve a tutti.La serie in questione è la seguente $rarr$ $\sum_{k=0}^infty(1/(2^n))$
Si nota subito che $\lim_{n\rightarrow infty}(1/(2^n))=0$ quindi la serie è convergente,ma non sò come calcolarne la somma.
Grazie.

[Seneca1]

$sum (1/2)^n$

Scritta così ti suggerisce qualcosa? Che razza di serie è?

[kondor1]

serie geometrica di ragione $1/2$ $rarr$ $1/(1-1/2)$ $rarr$ $1/(1/2)=2$,giusto?

[Gi81]

"kondor":Si nota subito che $\lim_{n\rightarrow infty}(1/(2^n))=0$ quindi la serie è convergente.

Questa è una affermazione sbagliatissima.
Se $lim_(n->+oo) a_n=0$ non vuol dire che la serie è convergente. Non puoi dire nè che è convergente nè il contrario.
Ad esempio prendi $sum_n 1/n$. Hai $lim_(n->+oo) 1/n=0$, ma la serie non converge

"kondor":serie geometrica di ragione $1/2$ $rarr$ $1/(1-1/2)$ $rarr$ $1/(1/2)=2$,giusto?

Giusto

[Seneca1]

"Gi8":[quote="kondor"]Si nota subito che $\lim_{n\rightarrow infty}(1/(2^n))=0$ quindi la serie è convergente.

Questa è una affermazione sbagliatissima.
[/quote]

Non avevo neppure letto cosa avesse scritto. Che figura...

[kondor1]

"Gi8":Questa è una affermazione sbagliatissima.
Se $lim_(n->+oo) a_n=0$ non vuol dire che la serie è convergente. Non puoi dire nè che è convergente nè il contrario.
Ad esempio prendi $sum_n 1/n$. Hai $lim_(n->+oo) 1/n=0$, ma la serie non converge

Hai perfettamente ragione,distrazione mia,la condizione è necessaria ma non sufficiente.

Ma la serie geometrica è l'unica di cui è nota anche la somma?o ce ne sono altre?
Grazie mille.

[Gi81]

"kondor":Ma la serie geometrica è l'unica di cui è nota anche la somma?o ce ne sono altre?

Ce ne sono tante altre, ovviamente. La prima che mi viene in mente è $sum_n 1/n^2$, che converge a $pi^2/6$
Anche se per dimostrare ciò servono conoscenze da università

[kondor1]

Ok.grazie ancora ad entrambi per la rapidità ed esaustività delle risposte!

[Seneca1]

Anche per le serie telescopiche la somma è spesso semplice.